النمذجة والمعادلات الخطية

سمِّ المجهول بحرف واذكر وحدته، ثم ترجم النص عبارة عبارة إلى معادلة.

حلّ المعادلة بإجراء العملية نفسها على الطرفين.

فكّ العمليات بعكسها من آخر عملية أُجريت إلى أولها.

في ٥س − ٣ = ٣٢ ألغِ الطرح أولًا ثم الضرب.

وفي ٢(س − ٣) = ١٠ اقسم على ٢ أولًا ثم أضف ٣.

«نصفه» و«ثلثه» تعودان إلى العدد الأصلي، فالعدد مع ثلثه يُكتب س + س ÷ ٣.

وإذا تغيّر في القصة شيء وبقي آخر ثابتًا، فاكتب الثابت بطريقتين وساوِ بينهما.

لكل علاقة مستقلة معادلة، والمجهولان يحتاجان إلى معادلتين.

الحذف: اجمع المعادلتين أو اطرح إحداهما من الأخرى ليختفي أحد المجهولين.

التعويض: إذا أعطتك معادلة مجهولًا بدلالة الآخر، فضعه مكانه في المعادلة الأخرى.

وإذا أعطى شخص غيره مبلغًا، تغيّر الفرق بينهما بضعف ذلك المبلغ.

في مسائل الأعمار يمرّ الزمن على الجميع، فبعد ن سنة يزيد عمر كل شخص ن.

لذلك يبقى الفرق بين العمرين ثابتًا، أما النسبة بينهما فتتغيّر.

ومجموع أعمار عدة أشخاص يزيد كل سنة بعددهم.

إذا تعدّدت الشروط فابدأ بالشرط الذي فيه مجهول واحد، ثم عوّض ناتجه في الشرط التالي.

وإذا وُصف كل شخص بدلالة غيره، فاجعل ما مع أحدهم وحدة واكتب الباقين بها.

وفي مسائل النوعين: افترض أن الجميع من النوع الأعلى قيمة، ثم اقسم الفرق بين المجموع المفترض والمجموع الفعلي على فرق القيمتين. يكون الناتج عدد النوع الأقل قيمة، والباقي من النوع الأعلى.

كثير من أسئلة القدرات قصة قصيرة فيها عدد مجهول، مثل ثمن كتاب أو عمر شخص أو عدد قفزات. وطريقة حلّها كلها واحدة: تسمّي المجهول بحرف، وتكتب ما يقوله النص معادلة، ثم تحلّها. نبدأ بالحل لأنه الأداة التي ستستعملها في كل ما بعده.

المعادلة ميزان متزن، طرفه الأيمن يساوي طرفه الأيسر. إذا أضفت إلى أحد الطرفين أو طرحت منه أو ضربته أو قسمته، فافعل الشيء نفسه بالطرف الآخر، وإلا اختلّ الميزان. وهدفك أن يبقى س وحده في أحد الطرفين.

إذا ظهر س في الطرفين، فاجمع حدود س في طرف والأعداد في الطرف الآخر، وذلك بطرح الحد نفسه من الطرفين.

لاحظ ترتيب الحل: ألغينا الجمع أولًا ثم الضرب. فالعدد في المسألة يُبنى بعمليات متتابعة، والحل يفكّها بعكسها من الآخر إلى الأول، كما تخلع الحذاء قبل الجورب مع أنك لبست الجورب أولًا.

وإذا كانت المعادلة ضربًا فقط، مثل ٢٥س = ٧٥٠، فاقسم مباشرة وسهّل الحساب ذهنيًا. القسمة على ٢٥ تساوي الضرب في ٤ ثم القسمة على ١٠٠: س = ٣٠٠٠ ÷ ١٠٠ = ٣٠. وتحقّق بالضرب: ٢٥ × ٣٠ = ٧٥٠.

صار الحل الآن آليًا، ويبقى الجزء الأهم في النمذجة: كتابة المعادلة الصحيحة من النص. هنا يخطئ أغلب الطلاب، لا في الحساب.

اعمل بأربع خطوات. أولًا حدّد المجهول ووحدته واكتبه صراحة، مثل: س = ثمن الدفتر بالريال. ثانيًا ترجم النص عبارة عبارة. ثالثًا حلّ المعادلة. رابعًا عوّض الناتج في كلام المسألة نفسه لا في معادلتك فقط، لأن المعادلة الخاطئة يطابقها حلّها الخاطئ.

انتبه إلى أن «نصفه» و«ربعه» و«ثلثه» تعود كلها إلى العدد الأصلي نفسه، لا إلى ما تبقى منه. فالعدد مع نصفه وربعه هو س + س ÷ ٢ + س ÷ ٤.

وهذه المسائل تُحل أسرع بالأجزاء: قسّم العدد إلى أجزاء متساوية يسهل أخذ كسوره، ثم عُدّ الأجزاء.

أصعب الترجمات أن يتغيّر في القصة شيء ويبقى شيء آخر ثابتًا. ابحث عن الكمية الثابتة، واكتبها بطريقتين، ثم ساوِ بينهما.

قد يذكر النص مجهولين وعلاقتين بينهما، وعندها تكتب معادلتين. فكل علاقة مستقلة تعطي معادلة، والمجهولان يحتاجان إلى معادلتين.

أشهر صورة لذلك مجموع عددين والفرق بينهما. العدد الأكبر هو الأصغر مع زيادة، فإذا حذفت الزيادة من المجموع بقي ضعف العدد الأصغر.

ما فعلناه اسمه طريقة الحذف: تجمع المعادلتين أو تطرح إحداهما من الأخرى ليختفي أحد المجهولين. والطريقة الثانية هي التعويض: إذا أعطتك إحدى المعادلتين مجهولًا بدلالة الآخر، فضعه مكانه في المعادلة الأخرى.

انتبه في مسائل التحويل: إذا أعطى شخص غيره مبلغًا، نقص ما معه وزاد ما مع الآخر بالمقدار نفسه، فيتغيّر الفرق بينهما بضعف المبلغ المنقول.

وقد تأتي العلاقة الثانية بنسب مئوية. حوّلها إلى معادلة عادية بلا كسور، أو جرّب الخيارات مباشرة لأن التحقق منها سريع.

مسائل الأعمار نظام معادلات له قاعدة خاصة تختصر نصف العمل، وهي أن الزمن يمرّ على الجميع بالقدر نفسه.

بعد ن سنة يزيد عمر كل شخص ن سنة، وقبل ن سنة ينقص عمر كل شخص ن سنة. لذلك يبقى فرق العمر بين شخصين ثابتًا لا يتغيّر أبدًا.

أما النسبة بين العمرين، مثل «أربعة أمثال» أو «ضعف»، فتتغيّر مع الزمن. فإذا قال النص إن عمره الآن أربعة أمثال عمر ابنه، فهذه العلاقة صحيحة الآن فقط، ولا تنقلها إلى المستقبل.

وإذا جمعت أعمار عدة أشخاص، فالمجموع يزيد كل سنة بعدد الأشخاص، لا بسنة واحدة.

أخيرًا قد يعطيك النص شروطًا كثيرة في سؤال واحد. لا ترتبك من عددها، فكل شرط معادلة، والمهم أن تعرف من أين تبدأ.

ابدأ بالشرط الذي فيه مجهول واحد، ثم عوّض ما وجدته في الشرط التالي، وهكذا كحلقات سلسلة.

وإذا وُصف كل شخص بدلالة غيره، فاختر الشخص الذي تتفرع منه العلاقات واجعل ما معه «وحدة». اكتب الباقين بعدد من هذه الوحدات، ثم استعمل المجموع.

ومن الصور المتكررة: أشياء من نوعين، لكل نوع قيمة، ومعك العدد الكلي والقيمة الكلية. افترض أن الجميع من النوع الأعلى قيمة، ثم انظر كم نقص المجموع عن ذلك، وكم ينقصه كل شيء من النوع الآخر.

قبل أن تختار الإجابة اسأل نفسك: هل الناتج منطقي؟ عدد الأشخاص والأسئلة عدد صحيح موجب، والعمر لا يكون سالبًا. وقد يطلب السؤال مجهولًا غير الذي رمزت له، فأعد قراءة المطلوب.