المدى

المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة.

ابحث عن الطرفين أينما وقعا في البيانات، ولا يهمك ما بينهما.

المدى لا يكون سالبًا أبدًا، ويساوي صفرًا إذا تساوت القيم كلها.

مع الأعداد السالبة، أصغر قيمة هي الأبعد يسارًا على خط الأعداد، وطرح السالب جمع.

إضافة العدد نفسه إلى كل القيم أو طرحه منها لا تغيّر المدى.

ضرب كل القيم في عدد يضرب المدى فيه دون إشارته، والقسمة مثل الضرب.

مثلًا ٢، ٦، ١٠ مداها ٨، وبعد ضربها في −٢ يصبح مداها ١٦.

لإيجاد طرف مجهول:

أكبر قيمة = أصغر قيمة + المدى.

أصغر قيمة = أكبر قيمة − المدى.

إن لم يحدّد السؤال موقع المجهول فاحسب الاحتمالين، واختر ما يوافق الخيارات أو شرط السؤال.

قبل الحساب، قارن المدى المعطى بمدى القيم المعروفة وحدها:

إن كان أكبر منه فالمجهول طرف جديد.

إن كان مساويًا له فالمجهول بين الطرفين أو عند أحدهما، ولا يتحدد بعدد واحد.

إن كان أصغر منه فالمسألة مستحيلة.

المدى يصف الطرفين فقط.

قد تتساوى مجموعتان في المدى وتختلفان في توزيع قيمهما.

وقد تكبّره قيمة واحدة بعيدة عن البقية تكبيرًا كبيرًا.

عندما تنظر إلى مجموعة أعداد، مثل درجات طلاب أو درجات الحرارة في أيام أسبوع، قد تسأل: هل هذه الأعداد متقاربة أم متباعدة؟ أبسط جواب أن تقيس المسافة بين أصغر عدد وأكبر عدد فيها. هذه المسافة اسمها المدى.

المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة. لا يهمك ترتيب الأعداد ولا عددها ولا ما بينها. ابحث عن الطرفين فقط، ثم اطرح الأصغر من الأكبر.

أنت تطرح الأصغر من الأكبر دائمًا، لذلك لا يكون المدى سالبًا أبدًا. إذا خرج لك عدد سالب فقد عكست الطرح. وإذا تساوت كل القيم فالمدى صفر.

تحتاج إلى انتباه أكبر حين تكون في البيانات أعداد سالبة. أصغر قيمة هي الأبعد يسارًا على خط الأعداد، فأصغر العددين −٩ و−٤ هو −٩ لا −٤. وتذكّر أن طرح عدد سالب يساوي جمع موجبه: ٣ − (−٩) = ٣ + ٩.

عرفت الآن كيف تحسب المدى. قبل أن تنتقل إلى القيمة المجهولة، انظر ماذا يحدث للمدى إذا غيّرت كل القيم بالطريقة نفسها. هذا سؤال شائع يوفّر عليك الحساب إذا عرفت قاعدته.

إذا أضفت العدد نفسه إلى كل القيم أو طرحته منها، تنتقل البيانات كلها على خط الأعداد كتلة واحدة، فلا تتباعد ولا تتقارب، ويبقى المدى كما هو.

أما إذا ضربت كل القيم في عدد، فتتمدد كل المسافات بقدره، فيُضرب المدى في العدد نفسه. وإذا كان العدد سالبًا فاضرب المدى في العدد دون إشارته، لأن المدى لا يكون سالبًا. والقسمة مثل الضرب: قسمة كل القيم على ٢ تقسم المدى على ٢.

الآن اعكس السؤال: قد يعطيك السؤال المدى ويخفي إحدى القيم، ويطلب منك إيجادها. القانون نفسه يعمل في الاتجاهين.

إذا كان المجهول أكبر قيمة فأضف المدى إلى أصغر قيمة: أكبر قيمة = أصغر قيمة + المدى. وإذا كان المجهول أصغر قيمة فاطرح المدى من أكبر قيمة: أصغر قيمة = أكبر قيمة − المدى. ثم تحقّق أن الناتج فعلًا أكبر من بقية القيم أو أصغر منها.

وإذا لم يحدّد السؤال موقع س؟ عندها يوجد احتمالان: أن تكون س الطرف الأعلى أو الطرف الأدنى. احسب الاحتمالين، ثم اختر ما يوافق الخيارات أو شرط السؤال، مثل أن تكون س عددًا سالبًا.

قبل أن تحسب، قارن المدى المعطى بمدى القيم المعروفة وحدها. إن كان المعطى أكبر فالمجهول طرف جديد، وله الاحتمالان السابقان. وإن كان مساويًا فالمجهول يقع بين الطرفين المعروفين أو عند أحدهما، ولا يغيّر المدى. وإن كان أصغر فالمسألة مستحيلة، لأن إضافة قيمة لا تُصغّر المدى أبدًا.

بقي أن تعرف حدود هذا المقياس. المدى مبني على قيمتين فقط، الأصغر والأكبر، فلا يخبرك بشيء عن القيم التي بينهما. خذ المجموعتين: أ = ١٠، ١٠، ١٠، ١٠، ٢٠ و ب = ١٠، ١٢، ١٥، ١٨، ٢٠. مدى كل منهما ٢٠ − ١٠ = ١٠.

لذلك قد تتساوى مجموعتان في المدى وتختلفان كثيرًا في توزيع قيمهما، وقد تغيّر قيمة واحدة بعيدة عن البقية المدى تغييرًا كبيرًا. المدى مقياس سريع للانتشار، لكنه لا يصفه وصفًا كاملًا.