المساحات المركبة والتغير

لحساب مساحة شكل مركّب لك طريقان:

قسّمه إلى مستطيلات لا تتداخل، واجمع مساحاتها.

أو أكمله إلى شكل كامل، واطرح منه الفراغ.

الطول الناقص تستنتجه من الضلع المقابل: الطول الكامل − الجزء المعلوم منه.

إذا كان الشكل على شبكة، فعُدّ الخلايا الصغيرة واضرب عددها في مساحة الخلية.

المظلل = الشكل الكامل − الجزء غير المظلل.

إذا دخلت دائرة، فانظر هل الموجود داخل الشكل ربعها أم نصفها أم كلها.

وإذا أُعطيت مساحة الدائرة، فاستخرج نق منها أولًا: ٣٦ط تعني نق = ٦.

واترك ط في الناتج، مثل ٦٠ − ١٣ط.

إذا ضُرب الطول في أ والعرض في ب، ضُربت المساحة في أ × ب.

إذا ضُربت كل الأطوال في ك، ضُربت المساحة في ك²، وهذا في أي شكل. أما المحيط فيُضرب في ك فقط.

وبالعكس: إذا ضُربت المساحة في ٢٥ وتغيّرت كل الأطوال بالنسبة نفسها، فقد ضُرب كل طول في ٥، لأن ٥² = ٢٥.

حوّل كل نسبة مئوية إلى معامل: زيادة ٢٠٪ تعني ×١٫٢، ونقص ٢٠٪ يعني ×٠٫٨.

إذا تعقّد الحساب، فافترض أبعادًا سهلة مثل ١٠ و١٠.

المساحة هي عدد المربعات الصغيرة التي تغطي الشكل. لذلك أبسط شكل مركّب هو شكل مبني من مربعات متطابقة: عُدّ المربعات، ثم اضرب العدد في مساحة المربع الواحد.

انتبه إلى أنك تعدّ الخلايا الصغيرة وحدها. لا تعدّ الحواف، ولا تعدّ مربعًا كبيرًا تكوّنه عدة خلايا على أنه مربع إضافي.

إذا لم تكن في الشكل شبكة، فأنشئ التقسيم بنفسك. ارسم خطًا يقسم الشكل إلى مستطيلات، واحسب مساحة كل مستطيل بقانون الطول × العرض، ثم اجمع المساحات.

قد لا يعطيك السؤال كل الأطوال، فاستنتج الناقص من الأضلاع المقابلة له: الطول المجهول = الطول الكامل − الجزء المعلوم منه.

يصحّ الجمع بشرط واحد: ألا تتداخل القطع. لو أخذت المستطيل السفلي ١٠ × ٣ والعمود الأيسر كاملًا ٤ × ٨، لدخلت الزاوية ٤ × ٣ في القطعتين معًا، وحسبتها مرتين.

للشكل نفسه طريق ثانٍ يكون أسرع أحيانًا، وهو الطرح. أكمل الشكل إلى مستطيل كامل، ثم اطرح منه الجزء الناقص.

اختر الطريق الذي يحتاج إلى حسابات أقل. الطرح هو الأنسب حين يبدو الشكل شكلًا كاملًا اقتُطعت منه فجوة.

على فكرة الطرح تقوم أسئلة المنطقة المظللة كلها: المظلل = مساحة الشكل الكامل − مساحة الجزء غير المظلل. قبل أن تحسب، حدّد أي شكل هو الكامل وأي شكل هو الفراغ.

إذا دخلت الدوائر في الشكل فالمبدأ نفسه. لكن انتبه: ما يقع داخل الشكل قد يكون ربع دائرة أو نصفها، لا دائرة كاملة.

وإذا أعطاك السؤال مساحة الدائرة، فاستخرج منها نصف القطر أولًا، لأنه هو الذي يحدد أبعاد الشكل. مثلًا: مساحة ٤٩ط تعني أن نق = ٧، لأن ٧² = ٤٩.

اترك ط في الناتج كما هي. الخيارات في القدرات تأتي عادة بصيغة مثل ٦٠ − ١٣ط.

حتى الآن حسبنا مساحة شكل أبعاده ثابتة. نوع آخر من الأسئلة يسألك: ماذا يحدث للمساحة إذا كبّرنا الأبعاد أو صغّرناها؟ الجواب يأتي من قانون المستطيل نفسه.

المساحة حاصل ضرب بُعدين. فإذا ضُرب الطول وحده في عدد، ضُربت المساحة في هذا العدد. وإذا ضُرب العرض أيضًا في عدد، ضُربت المساحة في العددين معًا.

القاعدة العامة: إذا ضُرب الطول في أ وضُرب العرض في ب، ضُربت المساحة في أ × ب. وإذا ضُربت كل الأطوال في العدد نفسه ك، ضُربت المساحة في ك².

هذه القاعدة تصدق على المثلث والدائرة وأي شكل آخر. مضاعفة نصف قطر الدائرة تجعل مساحتها ٤ أمثال، وتثليثه يجعلها ٩ أمثال. أما المحيط فيُضرب في ك فقط.

وقد يأتي السؤال بالعكس: يعطيك تغيّر المساحة ويسألك عن تغيّر الطول. عندئذ خذ الجذر التربيعي لمعامل المساحة.

أسئلة النسب المئوية تُحل بالطريقة نفسها بعد تحويل النسبة إلى معامل. الزيادة ٢٠٪ تعني الضرب في ١٫٢، والنقص ٢٠٪ يعني الضرب في ٠٫٨، والزيادة ١٠٪ تعني الضرب في ١٫١.

لماذا لا تلغي الزيادة النقصَ وهما بالنسبة نفسها؟ الرسم يجيب: افترض أن الشكل الأصلي مربع ضلعه ١٠، وقارن ما خسرته بما كسبته.

إذا تعقّد عليك الحساب، فافترض أبعادًا سهلة مثل ١٠ و١٠، واحسب المساحة قبل التغيير وبعده. النتيجة النسبية لا تتوقف على الأعداد التي تختارها.