معادلات غير خطية بسيطة

كل معادلة في هذا الدرس لها حيلة تعيدها إلى معادلة خطية.

بعد الحل افحص النتائج، فلا تقبل حلًا خاطئًا ولا تضيّع حلًا صحيحًا.

التربيعية: انقل الحدود إلى طرف واحد، ثم حلّل الطرف الآخر إلى حاصل ضرب يساوي صفرًا.

في س² + ب س + ج = ٠ ابحث عن عددين حاصل ضربهما ج ومجموعهما ب.

لا تقسم على س، فيضيع الحل ٠.

ولا تحذف الحل السالب إلا إذا كان س طولًا أو عددًا لا يكون سالبًا.

الكسرية: اكتب الشرط أولًا: المقام ≠ ٠.

ثم اضرب في المقام، أو اضرب ضربًا تبادليًا، وارفض كل حل يخالف الشرط.

الكسر يساوي ١ إذا تساوى بسطه ومقامه، ويساوي −١ إذا كان البسط = −(المقام).

للمعادلة س + ١/س = ن + ١/ن حلّان: ن و١/ن.

الجذرية: اعزل الجذر ثم ربّع الطرفين.

قد يُظهر التربيع حلًا دخيلًا، والجذر لا يعطي عددًا سالبًا، فعوّض كل حل في المعادلة الأصلية.

إذا تداخل جذران فلكل جذر تربيع مستقل، من الخارج إلى الداخل.

√(س²) = |س|، ولا تحذف القيمة المطلقة إلا إذا كان أس الناتج زوجيًا أو كان س موجبًا.

الأسية: اكتب الطرفين بأساس واحد، ثم ساوِ الأسين.

في الضرب تجمع الأسين، وفي القسمة تطرحهما، وفي رفع قوة إلى قوة تضربهما.

إذا تساوى الأسّان واختلف الأساسان، مثل ${\mathrm{٥}}^{س-\mathrm{٢}}={\mathrm{٢}}^{س-\mathrm{٢}}$، فالأس صفر.

القيمة المطلقة: اعزلها في طرف وحدها أولًا.

إذا كان |ع| = ك وكان ك موجبًا، فهناك حالتان: ع = ك أو ع = −ك.

إذا كان ك صفرًا فللمعادلة حالة واحدة، وإذا كان سالبًا فلا حل لها.

المعادلة الخطية مثل ٣س + ٤ = ١٩ تُحل بخطوتين، ولها حل واحد. في هذا الدرس يظهر المجهول في مواضع أصعب: مربّعًا، أو في مقام كسر، أو تحت جذر، أو في أس، أو داخل قيمة مطلقة.

الأنواع الخمسة تُحل بالطريقة نفسها. تستعمل حيلة تعيد المعادلة إلى معادلة خطية واحدة أو أكثر، ثم تفحص الحلول حتى لا تقبل حلًا خاطئًا ولا تضيّع حلًا صحيحًا.

أولًا: المعادلة التربيعية. ابدأ بأبسط صورها: س² = ٢٥. أنت تبحث عن عدد مربعه ٢٥، وهناك عددان لا عدد واحد: ٥ و−٥، لأن (−٥)² = ٢٥ أيضًا.

لذلك لا تحذف الحل السالب إلا إذا منعه معنى المتغير. إذا كان س طولًا أو عدد أشخاص فالسالب مرفوض، وفي غير ذلك تقبل الحلين.

إذا كانت المعادلة أعقد من «مربّع يساوي عددًا» فاعتمد على حقيقة واحدة: إذا كان حاصل ضرب عددين صفرًا فأحدهما على الأقل صفر. انقل كل الحدود إلى طرف واحد حتى يصير الطرف الآخر صفرًا، ثم اكتب الطرف الأول حاصل ضرب.

إذا كانت المعادلة على الصورة س² + ب س + ج = ٠ فابحث عن عددين حاصل ضربهما ج ومجموعهما ب. هذان العددان يعطيانك التحليل مباشرة.

في أسئلة القدرات تأتي التربيعية غالبًا داخل مسألة: طولان أحدهما يزيد على الآخر، ومساحة معلومة. سمِّ الطول الأصغر س، واكتب الأكبر بدلالته، ثم اكتب المساحة وساوِها بالقيمة المعطاة.

إذا كان الشكل مثلثًا فتذكّر أن مساحته نصف القاعدة × الارتفاع. اضرب المساحة في ٢ أولًا، ثم ابحث عن العددين، وتأكد أيّهما المطلوب: القاعدة أم الارتفاع.

ثانيًا: المعادلة الكسرية. ننتقل إلى الكسور لأنها تتحول عادةً إلى معادلة خطية أو تربيعية من النوع السابق بعد إزالة المقام. قبل أي خطوة اكتب الشرط: المقام لا يساوي صفرًا، لأن القسمة على صفر غير معرّفة.

بعد كتابة الشرط اضرب الطرفين في المقام، أو اضرب ضربًا تبادليًا إذا كان كل طرف كسرًا. وفي النهاية ارفض كل حل يجعل مقامًا صفرًا، حتى لو خرج من الحساب صحيحًا.

كثير من الأسئلة الكسرية لا تطلب عددًا، بل علاقة بين متغيرين. تكفيك هنا ملاحظة واحدة: الكسر يساوي ١ إذا تساوى بسطه ومقامه، ويساوي −١ إذا كان البسط معكوس المقام، أي البسط = −(المقام).

ومن الأنماط المتكررة أيضًا مجموع عدد ومقلوبه. إذا كان س + ١/س = ن + ١/ن فللمعادلة حلان: س = ن و س = ١/ن، لأن تبديل العدد بمقلوبه لا يغيّر المجموع. لا تكتفِ بأحدهما.

ثالثًا: المعادلة الجذرية. حيلتها التربيع: اعزل الجذر في طرف وحده، ثم ربّع الطرفين فيختفي الجذر.

لكن للتربيع العيب الذي رأيته في أول الدرس: يُخفي الإشارة. إذا ربّعت معادلة طرفها الأيمن سالب حصلت على المعادلة نفسها التي تحصل عليها لو كان موجبًا، فقد يظهر حل لا يحقق المعادلة الأصلية، ويُسمى حلًا دخيلًا. تذكّر أن الجذر التربيعي لا يعطي عددًا سالبًا أبدًا.

إذا كان جذر داخل جذر فأزل الجذور واحدًا بعد الآخر من الخارج إلى الداخل. لكل جذر تربيع مستقل، وبين التربيعين تقسم أو تطرح حتى تعزل الجذر التالي.

وإذا ظهر العدد الموجب نفسه داخل الجذر وخارجه فالتربيع يختصره مباشرة: من √(ك × س) = ك تحصل على ك × س = ك²، ومنه س = ك.

أما جذر قوة المتغير فانتبه فيه للإشارة. √(س²) = |س| وليست س، لأن الجذر لا يعطي سالبًا: إذا كان س = −٣ فإن √((−٣)²) = √٩ = ٣. وبالطريقة نفسها √(س⁶) = |س³|.

تحذف علامة القيمة المطلقة في حالتين فقط، هما الحالتان اللتان لا يكون فيهما الناتج سالبًا. الأولى أن يكون أس الناتج زوجيًا، مثل √(س⁴) = س² و√(س⁸) = س⁴. والثانية أن يخبرك السؤال أن س موجب.

رابعًا: المعادلة الأسية. المجهول الآن في الأس، وحيلته توحيد الأساس. إذا كان ${أ}^{م}={أ}^{ن}$ وكان الأساس أ موجبًا لا يساوي ١ فإن م = ن. اكتب الطرفين بأساس واحد، ثم ساوِ الأسين فتحصل على معادلة خطية.

لتعرف الأساس المشترك بسرعة احفظ قوى الأعداد الصغيرة، فأغلب الأعداد في هذه الأسئلة قوى لأساس واحد.

استعملت في المثال الأخير قانون رفع القوة إلى قوة. تحتاج في توحيد الأساس إلى ثلاثة قوانين فقط، كلها لقوى لها الأساس نفسه: في الضرب تجمع الأسين، وفي القسمة تطرحهما، وفي رفع قوة إلى قوة تضربهما.

وقد يكون الأس واحدًا والأساسان مختلفين، مثل ${\mathrm{٥}}^{س-\mathrm{٢}}={\mathrm{٢}}^{س-\mathrm{٢}}$. اقسم الطرفين على الطرف الأيمن فتصير المعادلة $(٥/٢{)}^{س-\mathrm{٢}}=\mathrm{١}$. الكسر ٥/٢ لا يساوي ١، فلا يعطي ١ إلا إذا كان الأس صفرًا. إذن س − ٢ = ٠، أي س = ٢، وعندها يساوي الطرفان ١.

وأحيانًا تُعطى عدة معادلات أسية ويُطلب حاصل ضرب الأسس. ارفع طرفي إحدى المعادلتين إلى قوة حتى يظهر فيها طرف المعادلة الأخرى، ثم عوّض، وكرّر ذلك حتى يصير في الطرفين أساس واحد.

خامسًا: معادلة القيمة المطلقة. القيمة المطلقة لعدد هي بُعده عن الصفر على خط الأعداد، فلا تكون سالبة أبدًا. رأيتها قبل قليل في √(س²) = |س|، وهي مثل التربيع تُخفي الإشارة: |٤| = |−٤| = ٤.

لذلك إذا كان |ع| = ك وكان ك موجبًا فهناك حالتان: ع = ك أو ع = −ك. اعزل القيمة المطلقة في طرف وحدها أولًا، ثم اكتب الحالتين وحل كل واحدة منهما.

وإذا كان الطرف الآخر سالبًا، مثل |س + ٣| = −٢، فلا حل للمعادلة، لأن القيمة المطلقة لا تساوي عددًا سالبًا. وإذا كان صفرًا فلها حالة واحدة: |س + ٣| = ٠ تعني س = −٣.

ضع الآن الأنواع الخمسة جنبًا إلى جنب. لكل نوع حيلة تُزيل الصعوبة، وتنبيه يحميك من الخطأ الأكثر شيوعًا فيه.