التجربة والتوقع

الاحتمال النظري تحسبه قبل التجربة: عدد النتائج المطلوبة ÷ عدد النتائج الممكنة.

الاحتمال التجريبي تحسبه من نتائج التجربة: عدد مرات وقوع الحدث ÷ عدد المحاولات كلها.

الاحتمالان لا يتساويان غالبًا بسبب الصدفة، لكن التجريبي يقترب من النظري كلما زادت المحاولات.

لذلك لا تحكم على عملة أو نرد بأنه غير عادل من محاولات قليلة.

ما يدعو إلى الشك هو الابتعاد الكبير عن النظري مع عدد كبير من المحاولات.

العدد المتوقع = عدد المحاولات × احتمال الحدث.

الاحتمال هنا قد يكون نظريًا، أو تجريبيًا مأخوذًا من نتائج سابقة.

إذا أعطاك السؤال نتائج تجربة وطلب توقعًا، فاحسب الاحتمال التجريبي أولًا.

إذا أُعطيت العدد المتوقع وطُلب عدد المحاولات فاقسم: عدد المحاولات = العدد المتوقع ÷ الاحتمال.

العدد المتوقع تقدير للمتوسط وليس نتيجة مضمونة.

وقد يخرج كسرًا، مثل ٥٠ × ١/٦ ≈ ٨٫٣، فتقول إنك تتوقع نحو ٨ مرات.

تعرف أن احتمال ظهور الصورة عند رمي عملة هو ١/٢، لأن للعملة وجهين لكل منهما الفرصة نفسها. هذا هو الاحتمال النظري، ونحسبه بالتفكير في النتائج الممكنة قبل أن نرمي شيئًا.

لكن إذا رميت العملة فعلًا ٢٠ مرة، فالغالب أنك لن تحصل على ١٠ صور بالضبط. ما يحدث فعلًا في التجربة يعطينا الاحتمال التجريبي: الاحتمال التجريبي = عدد مرات وقوع الحدث ÷ عدد المحاولات كلها.

انظر إلى تجربة رُمي فيها حجر نرد ٢٠ مرة، والحدث الذي يهمنا هو ظهور العدد ٦:

لاحظ أن الاحتمال التجريبي (٠٫٢٥) لا يساوي النظري (٠٫١٧ تقريبًا)، وهذا ليس خطأً في الحساب. نتيجة التجربة تتأثر بالصدفة. ولاحظ الفرق في المقام: في الاحتمال التجريبي نقسم على عدد المحاولات، وفي الاحتمال النظري نقسم على عدد النتائج الممكنة.

إذا كان الاحتمال التجريبي يختلف عن النظري، فمتى يقترب منه؟ كلما زاد عدد المحاولات قلّ أثر الصدفة، واقترب الاحتمال التجريبي من النظري.

لهذا لا تحكم على عملة أو حجر نرد بأنه غير عادل من محاولات قليلة، لأن الابتعاد عن الاحتمال النظري في عينة صغيرة أمر متوقع. الذي يدعو إلى الشك هو الابتعاد الكبير مع عدد كبير من المحاولات.

كان السؤال حتى الآن: ماذا حدث في التجربة؟ والآن نعكس الاتجاه: نعرف احتمال الحدث، ونريد أن نتوقع كم مرة سيقع في عدد معيّن من المحاولات.

احتمال ظهور العدد ٦ هو ١/٦، أي أن العدد ٦ يظهر في المتوسط مرة واحدة من كل ٦ رميات. فإذا رميت النرد ٦٠ مرة، فعندك ١٠ مجموعات في كل منها ٦ رميات، ونتوقع ظهور العدد ٦ مرة في كل مجموعة، أي ١٠ مرات.

إذن: العدد المتوقع = عدد المحاولات × احتمال الحدث.

الاحتمال الذي تضرب فيه قد يكون نظريًا كما في مثال الكيس، أو تجريبيًا مأخوذًا من نتائج سابقة. إذا أعطاك السؤال نتائج تجربة وطلب توقعًا، فاحسب الاحتمال التجريبي أولًا، ثم اضربه في عدد المحاولات الجديدة. هنا تلتقي فكرتا الدرس.

وقد يأتي السؤال معكوسًا، فيعطيك العدد المتوقع ويطلب عدد المحاولات. عندئذ تقسم: عدد المحاولات = العدد المتوقع ÷ الاحتمال.

تذكّر أن العدد المتوقع تقدير للمتوسط، وليس نتيجة مضمونة. قد نتوقع ١٥ كرة حمراء فنحصل فعلًا على ١٣ أو ١٧. وقد يخرج العدد المتوقع كسرًا، مثل ٥٠ × ١/٦ ≈ ٨٫٣، فنقول إننا نتوقع نحو ٨ مرات.