المتوسط والمجموع

لحساب المتوسط اجمع القيم، ثم اقسم المجموع على عددها.

العدد يشمل كل القيم، ومنها الصفر.

وللسرعة خمّن عددًا سهلًا قريبًا من القيم، ثم وازن ما تزيد به القيم عليه وما تنقص عنه.

إن بقيت زيادة فاقسمها على عدد القيم وأضف الناتج إلى التخمين، وإن بقي نقص فاقسمه واطرح الناتج.

في المقادير الجبرية اجمع حدود س معًا والثوابت معًا، ثم اقسم المجموع كله على العدد.

وإن كان للقيم جزء مشترك، فالمتوسط هو الجزء المشترك مضافًا إليه متوسط الزيادات.

متوسط س، س + ٣، س + ٩، س + ١٢ هو س + ٦، لأن (٠ + ٣ + ٩ + ١٢) ÷ ٤ = ٦

إذا أُعطيت المتوسط فاضربه في العدد لتحصل على المجموع.

ثم اطرح منه مجموع القيم المعروفة، فيبقى الجزء الباقي أو القيمة المفقودة.

القيمة المجهولة تُعدّ ضمن عدد القيم.

إن كانت القيم مقادير فيها س فاكتب المعادلة: مجموع المقادير = المتوسط × العدد، ثم حلّها.

وعند إضافة قيمة أو حذفها احسب المجموع قبل التغيير وبعده، والفرق بين المجموعين هو القيمة المضافة أو المحذوفة.

مثلًا: خمسة أعداد متوسطها ١٦، وبعد إضافة عدد سادس صار المتوسط ١٨.

المجموع قبل الإضافة ١٦ × ٥ = ٨٠، وبعدها ١٨ × ٦ = ١٠٨، فالعدد المضاف ١٠٨ − ٨٠ = ٢٨

تخيّل ثلاثة أصدقاء معهم ٢ و٦ و٧ ريالات، وقرّروا أن يتقاسموا ما معهم بالتساوي. مجموع ما معهم ١٥ ريالًا، فيأخذ كل واحد ٥ ريالات. هذا العدد ٥ هو المتوسط الحسابي: القيمة التي لو صارت كل القيم مساوية لها لبقي المجموع كما هو.

لهذا يُحسب المتوسط بخطوتين: اجمع القيم كلها، ثم اقسم المجموع على عدد القيم. أي: المتوسط = المجموع ÷ العدد.

العدد الذي تقسم عليه هو عدد القيم كلها، ويدخل فيه الصفر. الصفر قيمة حقيقية: لا يزيد المجموع، لكنه يزيد العدد.

الجمع ثم القسمة طريقة تنجح دائمًا، لكنك في الاختبار تحتاج أحيانًا إلى طريقة أسرع. وصورة التسوية السابقة تعطيك هذه الطريقة: المتوسط نقطة اتزان، فمجموع ما تزيد به القيم عليه يساوي مجموع ما تنقص به عنه.

اختر عددًا سهلًا قريبًا من القيم على أنه تخمين، واحسب كم تزيد كل قيمة عليه أو تنقص عنه. إن تعادلت الزيادة والنقص فتخمينك هو المتوسط. وإن بقيت زيادة فاقسمها على عدد القيم وأضف الناتج إلى التخمين، وإن بقي نقص فاقسمه واطرح الناتج.

الفكرة نفسها تنفعك حين تكون القيم مقادير جبرية لها جزء مشترك: كل قيمة هي الجزء المشترك مضافًا إليه زيادة، فيكون المتوسط هو الجزء المشترك مضافًا إليه متوسط الزيادات.

وأحيانًا تختفي س تمامًا عند الجمع، فيخرج المتوسط عددًا ثابتًا. لذلك اجمع حدود س معًا والثوابت معًا قبل أي خطوة أخرى.

حتى الآن أُعطيت القيم وطُلب منك المتوسط. لكن أسئلة القدرات كثيرًا ما تعكس الاتجاه: تعطيك المتوسط وتسألك عن المجموع أو عن قيمة ناقصة. والمفتاح هنا علاقة واحدة: المجموع = المتوسط × العدد.

سبب ذلك أن المتوسط هو نصيب كل قيمة بعد التسوية. فإذا عرفت نصيب الواحد وعدد القيم عرفت المجموع بالضرب، كما تعرف المبلغ الكلي إذا علمت أن كل واحد من ٧ أشخاص أخذ ٢٣ ريالًا.

وإذا عرفت المجموع الكلي وعرفت جزءًا منه، فالجزء الباقي = المجموع الكلي − الجزء المعروف.

القيمة المفقودة ليست إلا جزءًا باقيًا مكوّنًا من قيمة واحدة، فتُطبَّق عليها الخطوات نفسها: حوّل المتوسط إلى مجموع، ثم اطرح منه مجموع القيم المعروفة. وتذكّر أن القيمة المجهولة تُعدّ ضمن عدد القيم.

وإن كانت القيم مقادير فيها س، فاكتب المعادلة: مجموع المقادير = المتوسط × العدد، ثم حلّها.

وبالمنطق نفسه تحلّ أسئلة إضافة قيمة أو حذفها: احسب المجموع قبل التغيير وبعده، والفرق بين المجموعين هو القيمة المضافة أو المحذوفة.