التحليل والكسور

العامل المشترك: أكبر عدد يقسم كل المعاملات، مع أصغر قوة للمتغير الموجود في كل الحدود.

٦س² + ٩س = ٣س(٢س + ٣)

إذا أُعطيت قيمة مقدار، فاستخرج العامل المشترك من المطلوب، وعوّض المقدار كتلة واحدة.

ولحل معادلة مثل ٢س² = ٦س: انقل الحدود إلى طرف واحد، ثم حلّل: ٢س(س − ٣) = ٠. اجعل كل عامل صفرًا، فالحلان ٠ و٣.

الكسر الجبري: حلّل البسط والمقام، ثم اختصر العامل المضروب فقط، لا الحد المجموع.

الفرق بين مربعين: س² − ٢٥ = (س − ٥)(س + ٥)

ثلاثي الحدود: س² + ٧س + ١٢ = (س + ٣)(س + ٤)، لأن ٣ و٤ ضربهما ١٢ ومجموعهما ٧.

القيمة التي تجعل المقام الأصلي صفرًا تبقى ممنوعة بعد الاختصار.

في أسئلة المقارنة بسّط، ثم اطرح القيمتين. إذا خرج فرق ثابت فالإجابة محددة، حتى لو كانت س مجهولة.

(أ + ب) ÷ ج = أ ÷ ج + ب ÷ ج

القسمة على ½ص ضعف القسمة على ص.

إذا أُعطيت علاقات بين المتغيرات، فاكتبها كلها بدلالة متغير واحد، ثم اختصره.

القوى عوامل مضروبة:

في القسمة تطرح الأسين: س⁵ ÷ س² = س³

في الضرب تجمعهما: س² × س⁴ = س⁶

في رفع قوة إلى قوة تضربهما: (س²)³ = س⁶

الأس خارج القوس يقع على كل ما داخله: (٣س)² = ٩س²، أما ٣س² فالتربيع على س وحدها.

الأس السالب يعني المقلوب: س⁻³ = ١ ÷ س³

إذا كانت س أس ص = ٣، فإن س أس −ص = ١/٣، وس أس ٢ص = ٩.

من قوتين لهما الأساس نفسه، وهو أكبر من ١، الأكبر صاحبة الأس الأكبر.

إن كان في الأس متغير فجرّب قيمة موجبة وصفرًا وقيمة سالبة. في ٣ أس ٣س مقابل ٣ أس ٢س تنقلب العلاقة، فالمعطيات غير كافية.

التوزيع يحوّل الضرب إلى جمع: ٣(س + ٢) = ٣س + ٦. التحليل هو الطريق نفسه بالعكس: تبدأ من المجموع ٣س + ٦ وتعيده حاصل ضرب ٣(س + ٢). كل جزء مضروب في غيره يسمّى عاملًا، فهنا عاملان: ٣ و(س + ٢).

لتستخرج العامل المشترك: خذ أكبر عدد يقسم كل المعاملات، وأصغر قوة للمتغير الموجود في كل الحدود، واكتبهما خارج القوس. ثم اقسم كل حد عليهما واكتب ناتج القسمة داخل القوس.

كثيرًا ما يعطيك سؤال القدرات قيمة مقدار كامل مثل ٣س + ص، دون قيمة س أو ص، ثم يطلب مقدارًا آخر. استخرج العامل المشترك من المطلوب، فإن ظهر داخل القوس المقدار المعطى نفسه فعوّضه كتلة واحدة، ولا تحاول إيجاد س وص.

والعامل المشترك يحل لك معادلات أيضًا. إذا كان حاصل ضرب عاملين صفرًا فلا بد أن يكون أحدهما صفرًا. لذلك انقل الحدود كلها إلى طرف واحد، وحلّل، ثم اجعل كل عامل صفرًا.

الآن وقد صرت تكتب المقادير حواصل ضرب، تستطيع تبسيط الكسور الجبرية. الاختصار معناه قسمة البسط والمقام على الشيء نفسه، ولا يجوز إلا إذا كان هذا الشيء عاملًا مضروبًا في البسط كله وفي المقام كله.

لذلك حلّل البسط والمقام أولًا، ثم اختصر العامل المشترك الذي يظهر. وأكثر ما ستحلّله في القدرات نوعان: الفرق بين مربعين، وثلاثي الحدود.

الفرق بين مربعين: إذا رأيت مربعًا ناقص مربع فحلّله إلى قوسين، أحدهما بالطرح والآخر بالجمع. مثلًا س² − ٢٥ = (س − ٥)(س + ٥)، وس² − ٤٩ = (س − ٧)(س + ٧).

ثلاثي الحدود مثل س² + ٧س + ١٢: ابحث عن عددين حاصل ضربهما الحد الأخير ١٢، ومجموعهما معامل س وهو ٧. ابدأ بأزواج الضرب وتوقّف عند الزوج الذي يعطي المجموع المطلوب.

بعد التحليل تأتي نقطة يغفل عنها كثيرون: المقام الأصلي لا يجوز أن يساوي صفرًا، وهذا المنع يبقى حتى بعد أن يختفي المقام بالاختصار. لذلك حدّد القيم الممنوعة من المقام الأصلي قبل أن تختصر.

هذا بالضبط ما تحتاجه في أسئلة المقارنة. بسّط الكسر، ثم اطرح إحدى القيمتين من الأخرى. إن خرج فرق ثابت لا يتغير بتغيّر س فالإجابة محددة، وليست «المعطيات غير كافية» مع أن س مجهولة.

ليست كل الكسور تُبسَّط بالتحليل. أحيانًا يعطيك السؤال نسبة مثل س/ص = ٣ ويطلب كسرًا أكبر منها. الأداة الأولى هنا: الكسر الذي بسطه مجموع يُفصل إلى كسرين لهما المقام نفسه، (أ + ب) ÷ ج = أ ÷ ج + ب ÷ ج. هذا تفريق وليس اختصارًا، فهو جائز دائمًا.

والأداة الثانية: القسمة على نصف عدد تضاعف الناتج ولا تنصّفه، لأن القسمة على ½ تساوي الضرب في ٢. فالقسمة على ½ص تساوي ضعف القسمة على ص.

وإن أعطاك السؤال أكثر من علاقة بين المتغيرات، فاكتب كل المتغيرات بدلالة متغير واحد. يصير البسط والمقام مضاعفين لهذا المتغير، فيُختصر ويبقى عدد.

القوى حالة خاصة من العوامل: س⁵ تعني س × س × س × س × س، أي خمسة عوامل مضروبة. لذلك يجري عليها اختصار العوامل المشتركة نفسه الذي تعلّمته في الكسور.

من عدّ العوامل تخرج قوانين الأسس كلها: عند القسمة تطرح الأسين (س⁵ ÷ س² = س³)، وعند الضرب تجمعهما (س² × س⁴ = س⁶)، وعند رفع قوة إلى قوة تضربهما ((س²)³ = س² × س² × س² = س⁶).

وانتبه إلى القوس: الأس خارج القوس يقع على كل عامل داخله، فـ(٣س)² = ٣س × ٣س = ٩س². أما في ٣س² فالتربيع واقع على س وحدها، و٣ باقية كما هي.

وإذا قسمت على قوة أسّها أكبر ظهر الأس السالب: س² ÷ س⁵ = س⁻³. وبعدّ العوامل ترى أن ثلاثة عوامل س بقيت في المقام، أي أن س⁻³ = ١ ÷ س³. فالأس السالب يعني المقلوب، ولا يجعل القيمة سالبة.

وإذا أعطاك السؤال قيمة قوة أسّها متغير مثل ${س}^{ص}$، فعاملها كتلة واحدة كما عاملت ٣س + ص في أول الدرس: ${س}^{-ص}$ مقلوبها، و${س}^{٢ص}$ مربعها.

بقيت المقارنة بين قوتين لهما الأساس نفسه وهو أكبر من ١: الأكبر صاحبة الأس الأكبر. لكن إن كان في الأس متغير، فالأس الأكبر يتوقف على إشارة المتغير: ٣س أكبر من ٢س إذا كانت س موجبة، وأصغر منها إذا كانت سالبة. لذلك جرّب قيمة موجبة وصفرًا وقيمة سالبة قبل أن تحكم.