الترتيب والاختيار

قبل أن تعدّ، بدّل عنصرين في النتيجة.

إن تغيّرت النتيجة فهو ترتيب، وإن لم تتغيّر فهو اختيار.

في الحالتين تبدأ بضرب خيارات الخانات، ولا تجمعها.

في الترتيب يحدّد التكرار شكل الضرب.

دون تكرار، كأرقام «مختلفة» أو شخص لا يشغل منصبين، تنقص الخيارات واحدًا في كل خانة.

مع التكرار، كرمز سري أو «يجوز التكرار»، تبقى الخيارات ثابتة.

إن كان بين ما ترتّبه عناصر متماثلة، فاقسم على عدد طرق تبديلها فيما بينها.

الأرقام ٣، ٣، ٣، ٥ تعطي: ٢٤ ÷ ٦ = ٤ أعداد.

في الاختيار اضرب كأنه ترتيب، ثم اقسم على ترتيبات المختارين أنفسهم.

إذا اخترت ر عنصرًا فاقسم على ر!، ومنها: ٢! = ٢، و٣! = ٦، و٤! = ٢٤.

المصافحات والمباريات والخطوط بين النقاط هي اختيار اثنين: ن × (ن − ١) ÷ ٢.

٨ فرق يلعب كل منها مع الآخر مرة واحدة: ٨ × ٧ ÷ ٢ = ٢٨ مباراة.

إذا لعبت ذهابًا وإيابًا فالترتيب مهم: ٨ × ٧ = ٥٦ مباراة.

واختيار ٥ من ٧ هو نفسه اختيار الاثنين اللذين تتركهما: ٧ × ٦ ÷ ٢ = ٢١.

ابدأ بموقف بسيط: في نادٍ ٦ أشخاص، وتريد أن تختار منهم رئيسًا ونائبًا وأمين صندوق. تخيّل ثلاث خانات فارغة، وستملؤها خانة بعد خانة.

لخانة الرئيس ٦ خيارات. بعد أن تختاره يبقى ٥ أشخاص لخانة النائب، ثم يبقى ٤ لخانة أمين الصندوق. كل رئيس يمكن أن يقترن بأي نائب، وكل ثنائي منهما يمكن أن يقترن بأي أمين، ولذلك تضرب الأعداد ولا تجمعها: ٦ × ٥ × ٤ = ١٢٠ طريقة.

نسمّي هذا ترتيبًا لأن المواقع لها معنى. أن يكون أحمد رئيسًا وخالد نائبًا نتيجة تختلف عن أن يكون خالد رئيسًا وأحمد نائبًا. كل تبديل بين الخانات يصنع نتيجة جديدة، فتُعدّ كل نتيجة وحدها.

في المثالين السابقين نقصت الخيارات في كل خانة، لأن العنصر الذي استُعمل لا يعود. لكن بعض الأسئلة تسمح بأن يتكرّر العنصر نفسه، مثل رقم سري يجوز أن يتكرّر فيه الرقم.

إذا سُمح بالتكرار بقي عدد الخيارات ثابتًا في كل خانة، فتضرب العدد في نفسه بعدد الخانات. في قفل من ٣ خانات، لكل خانة الأرقام العشرة من ٠ إلى ٩ .

حدّد من نص السؤال هل التكرار مسموح. كلمات مثل «مختلفة» و«دون تكرار»، أو موقف لا يُعقل فيه التكرار كشخص يشغل منصبين، تعني أن الخيارات تتناقص. أما «يجوز التكرار»، أو الرموز السرية، أو إجابات عدة أسئلة لكل منها الخيارات نفسها، فتعني أن الخيارات ثابتة.

وللتكرار صورة ثانية: أن يكون بين العناصر التي ترتّبها عنصران متماثلان. مثال ذلك: كم عددًا من ثلاثة أرقام تكوّنه من الأرقام ١، ١، ٢ ؟ لو كان الواحدان مختلفين (ميّزنا أحدهما بدائرة والآخر بمربع) لكانت الترتيبات ٣ × ٢ × ١ = ٦. لكنهما متماثلان، فتبديلهما لا يصنع عددًا جديدًا، وكل عدد عُدّ مرتين: ٦ ÷ ٢ = ٣.

الفكرة التي استعملتها الآن، أن تقسم لأن التبديل لا يصنع شيئًا جديدًا، هي نفسها مفتاح الاختيار. في الاختيار لا توجد مواقع أصلًا، والمهم فقط من دخل المجموعة.

القسمة على ٢ ليست قاعدة ثابتة. أنت تقسم على عدد الطرق التي يترتّب بها المختارون أنفسهم. شخصان يترتّبان بطريقتين، أما ثلاثة أشخاص فيترتّبون بـ ٣ × ٢ × ١ = ٦ طرق، وكلها تعطي اللجنة نفسها.

حاصل الضرب ٣ × ٢ × ١ يُكتب اختصارًا ٣! ويُقرأ «مضروب ٣». احفظ القيم الصغيرة: ٢! = ٢، و٣! = ٦، و٤! = ٢٤. إذا اخترت ر عنصرًا فاقسم على ر!.

وهذا اختصار يوفّر وقتك: اختيار ٥ من ٧ هو نفسه اختيار الاثنين اللذين ستتركهما، لأن كل مجموعة تأخذها تقابلها مجموعة واحدة تتركها. إذن الجواب ٧ × ٦ ÷ ٢ = ٢١، ولا حاجة إلى ضرب خمسة أعداد.

أكثر ما يظهر الاختيار في أسئلة القدرات في صورة المصافحات والمباريات والخطوط بين النقاط. كل مصافحة أو مباراة هي اختيار شخصين من المجموعة، وترتيبهما لا يهم. انظر إلى ٦ أشخاص يصافح كل منهم الآخرين مرة واحدة: كل خط في الرسم مصافحة.

الرسم يعطيك طريقتين تصلان إلى الجواب نفسه. الأولى العدّ المتناقص: أ يصافح ٥، ثم ب يصافح ٤ لم يصافحهم بعد (فمصافحته مع أ حُسبت)، ثم ٣، ثم ٢، ثم ١، والمجموع ١٥. الثانية الضرب ثم القسمة: كل واحد من الستة يصافح ٥، فيكون ٦ × ٥ = ٣٠، لكن كل مصافحة حُسبت من طرفيها، فتقسم على ٢ وتحصل على ١٥.

جمعنا الآن كل الحالات، ويبقى أن تعرف أيها أمامك. عند كل سؤال أجرِ اختبار التبديل: بدّل عنصرين مختارين، فإن تغيّرت النتيجة فهو ترتيب، وإلا فهو اختيار. بعد ذلك يحدد لك التكرار شكل الضرب.