المتتابعات الحسابية

المتتابعة حسابية إذا انتقلت من كل حد إلى الذي بعده بإضافة العدد نفسه. هذا العدد اسمه الفرق.

الفرق = الحد التالي − الحد الذي قبله. قد يكون سالبًا، وعندها تتناقص الحدود.

تحقّق من الفرق بين أكثر من زوج متجاور. في ٣، ٦، ١٢، ٢٤ الفروق ٣ ثم ٦ ثم ١٢، فهي ليست حسابية.

للوصول إلى الحد رقم ن من الحد الأول تقفز (ن − ١) قفزة، وطول كل قفزة يساوي الفرق.

عدد القفزات بين أي حدين يساوي الفرق بين رقميهما.

وللرجوع إلى الخلف اطرح الفرق بدل إضافته.

عدد الحدود يزيد على عدد القفزات بواحد:

عدد الحدود = (الأخير − الأول) ÷ الفرق + ١

في أنماط الأشكال احسب ما تضيفه كل خطوة جديدة فقط، لا تضرب الشكل الأول في عدد القطع. ثم تعامل معها كمتتابعة حسابية.

لإيجاد المجموع اجمع الحدود أزواجًا: الأول مع الأخير، والثاني مع الذي قبل الأخير، وهكذا.

كل زوج يعطي المجموع نفسه، وعدد الأزواج نصف عدد الحدود.

مجموع الأعداد من ١ إلى ن = ن × (ن + ١) ÷ ٢

إذا كان عدد الحدود فرديًا فالمجموع = الحد الأوسط × عدد الحدود.

اقرأ السؤال جيدًا: ما يُضاف في الخطوة ن حد واحد، وما تجمّع حتى الخطوة ن مجموع.

المتتابعة أعداد مرتّبة واحدًا بعد الآخر، ولكل عدد منها موضع: الحد الأول، ثم الحد الثاني، وهكذا. تكون المتتابعة حسابية إذا انتقلت من كل حد إلى الحد الذي بعده بإضافة العدد نفسه في كل مرة. هذا العدد الثابت اسمه الفرق.

لتجد الفرق اطرح كل حد من الحد الذي بعده. لا تكتفِ بحدين؛ احسب الفرق بين أكثر من زوج من الحدود المتجاورة، فإن تكرر العدد نفسه فالمتتابعة حسابية.

قارن ذلك بالمتتابعة ٣، ٦، ١٢، ٢٤. فروقها ٣ ثم ٦ ثم ١٢، وهي غير ثابتة، فالمتتابعة ليست حسابية، لأن كل حد فيها ضعف الحد الذي قبله. ولو نظرت إلى أول حدين فقط لظننت أن الفرق ٣، وأخطأت.

قد يكون الفرق سالبًا، وعندها تتناقص الحدود. احسبه دائمًا بهذا الترتيب: الحد التالي − الحد الذي قبله، فتظهر الإشارة وحدها.

إيجاد الحد التالي سهل، لكن ماذا تفعل إذا طُلب منك الحد الأربعون؟ لن تجمع الفرق تسعًا وثلاثين مرة واحدة بعد أخرى. يكفي أن تعرف كم قفزة تفصلك عنه، ثم تضرب.

من الحد الأول إلى الحد الثاني قفزة واحدة، وإلى الثالث قفزتان، وإلى العاشر ٩ قفزات. عدد القفزات دائمًا أقل من رقم الحد بواحد، كما أن ٦ أعمدة مصفوفة في سياج بينها ٥ مسافات فقط.

من هنا تأتي القاعدة: الحد رقم ن = الحد الأول + (ن − ١) × الفرق. القوس (ن − ١) هو عدد القفزات.

ولا يلزم أن تبدأ من الحد الأول. عدد القفزات بين أي حدين يساوي الفرق بين رقميهما، فبين الحد السابع والحد الثاني عشر ٥ قفزات. وتستطيع أن تمشي إلى الخلف أيضًا، بطرح الفرق بدل إضافته.

وبالفكرة نفسها تعرف عدد الحدود إذا عرفت الحد الأول والحد الأخير. اقسم المسافة بينهما على الفرق فتحصل على عدد القفزات، ثم أضف ١ لأن عدد الحدود يزيد على عدد القفزات بواحد. أي: عدد الحدود = (الأخير − الأول) ÷ الفرق + ١.

كثير من أسئلة الأنماط لا تعطيك أعدادًا، بل أشكالًا تكبر خطوة بعد خطوة، مثل طاولات تُصفّ أو مربعات تُبنى من العيدان. ابحث عمّا تضيفه كل خطوة جديدة. إذا كانت كل خطوة تضيف العدد نفسه فأنت أمام متتابعة حسابية، وتطبّق عليها كل ما سبق.

انتبه لسبب الإضافة. المربع الجديد يحتاج ٤ أضلاع، لكنه يشارك المربع الذي قبله ضلعًا، فلا يضيف إلا ٣. في أغلب هذه الأشكال يوجد جزء مشترك بين القطع المتجاورة، أو جزء ثابت عند الطرفين لا يتكرر مع كل قطعة. لذلك لا تضرب عدد الشكل الأول في عدد القطع.

كنا حتى الآن نبحث عن حد واحد. لكن السؤال قد يطلب مجموع الحدود كلها، مثل عدد الصفحات المقروءة في أسبوع، أو عدد الركاب الذين صعدوا حتى الآن. لن تجمع الحدود واحدًا واحدًا، فالفرق الثابت يمنحك طريقة أسرع.

اكتب الحدود، واجمع الأول مع الأخير، ثم الثاني مع الذي قبل الأخير، وهكذا. ستجد أن كل زوج يعطي المجموع نفسه. السبب أنك كلما تقدمت خطوة من البداية زاد العدد بمقدار الفرق، وكلما تراجعت خطوة من النهاية نقص بالمقدار نفسه، فيبقى مجموع الزوج ثابتًا.

عدد الأزواج نصف عدد الحدود، ومجموع كل زوج يساوي الأول + الأخير، فتصل إلى القاعدة: المجموع = عدد الحدود × (الأول + الأخير) ÷ ٢. ويمكنك قراءتها بطريقة أخرى: متوسط الحدود هو متوسط الأول والأخير، والمجموع يساوي هذا المتوسط × عدد الحدود.

أشهر حالة تقابلك هي مجموع الأعداد من ١ إلى ن، وهو ن × (ن + ١) ÷ ٢. وإذا كان عدد الحدود فرديًا بقي حد في الوسط بلا زوج، وهذا الحد هو المتوسط نفسه، فيكون المجموع = الحد الأوسط × عدد الحدود.

وإذا كانت الحدود كلها متساوية فالفرق صفر، وهي متتابعة حسابية أيضًا، ومجموعها = عدد الحدود × قيمة الحد. فمجموع ٤٠ حدًا قيمة كل منها ٧ هو ٤٠ × ٧ = ٢٨٠.

في مسائل التراكم فرّق جيدًا بين الحد والمجموع. ما يُضاف في الخطوة رقم ن حد واحد، أما ما تجمّع من البداية حتى الخطوة رقم ن فهو مجموع. اقرأ السؤال لتعرف أيهما المطلوب.