خصائص الرباعيات

زوايا أي رباعي مجموعها ٣٦٠°، ونوع الشكل يضيف خصائص تربط المعلوم بالمجهول.

كل خاصية تصح في شكل تصح فيما تحته: المستطيل والمعين متوازيا أضلاع، والمربع مستطيل ومعين معًا. والعكس لا يصح.

متوازي الأضلاع: الأضلاع المتقابلة متساوية، والزوايا المتقابلة متساوية، وكل زاويتين متجاورتين مجموعهما ١٨٠°، والقطران يتنصّفان.

المعين: يضيف قطرين متعامدين، وكل قطر ينصّف الزاويتين اللتين يصل بينهما. نصفا القطرين ضلعا مثلث قائم وتره ضلع المعين.

المستطيل: يضيف قطرين متساويين، فأنصافهما الأربعة متساوية، وكل مثلث رأسه نقطة التقاطع متساوي الساقين. الزاوية الحادة بين القطرين ضعف زاوية ميل القطر على الضلع الطويل.

المربع: القطر يقسم الزاوية القائمة إلى ٤٥° و٤٥°. القطر = الضلع × √٢، والضلع = القطر ÷ √٢.

شبه المنحرف: زاويتا الساق الواحدة مجموعهما ١٨٠°.

إن تطابق ساقاه تساوت زاويتا كل قاعدة وتساوى القطران.

الطائرة الورقية: قطراها متعامدان. محور تماثلها ينصّف القطر الآخر وينصّف زاويتي طرفيه، والزاويتان الأخريان متساويتان.

الشكل الرباعي مضلع له أربعة أضلاع وأربع زوايا. وهناك خاصية تصح في كل رباعي مهما كان شكله: مجموع زواياه الداخلية ٣٦٠°.

سبب ذلك أنك إذا رسمت قطرًا واحدًا انقسم الرباعي إلى مثلثين. مجموع زوايا كل مثلث ١٨٠°، فيكون مجموع زوايا الرباعي ١٨٠° + ١٨٠° = ٣٦٠°.

هذه الخاصية لا تكفي وحدها في معظم الأسئلة. لذلك يذكر السؤال نوع الرباعي (مستطيل، معين، شبه منحرف...)، لأن النوع يضمن خصائص إضافية هي مفتاح الحل. فلنتعرّف على أنواع الرباعيات وكيف يرتبط بعضها ببعض.

الرباعيات عائلة واحدة. متوازي الأضلاع هو الرباعي الذي يتوازى فيه كل ضلعين متقابلين. إذا أضفت إليه شرط أن تكون زواياه قائمة صار مستطيلًا، وإذا أضفت شرط أن تتساوى أضلاعه صار معينًا، وإذا اجتمع الشرطان صار مربعًا. أما شبه المنحرف والطائرة الورقية فهما فرعان مستقلان عن متوازي الأضلاع.

القاعدة الذهبية في هذه العائلة: كل خاصية تصح في شكل تصح في كل ما تحته. فالمربع مستطيل ومعين ومتوازي أضلاع في آن واحد، ويرث خصائصها جميعًا. والعكس لا يصح: خاصية المربع لا تنقلها إلى المستطيل ولا إلى المعين.

نبدأ بمتوازي الأضلاع لأن المستطيل والمعين والمربع ترث خصائصه كلها. في متوازي الأضلاع كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتساويان، وكل زاويتين متقابلتين متساويتان.

وكل زاويتين متجاورتين (أي على طرفي ضلع واحد) مجموعهما ١٨٠°، لأنهما زاويتان داخليتان في جهة واحدة بين ضلعين متوازيين. لذلك إذا عرفت زاوية واحدة عرفت الأربع: س و١٨٠ − س و س و١٨٠ − س.

قد يمدّ السؤال ضلعًا من أضلاع الشكل خارجه. الزاوية الخارجية الناتجة تقع مع الزاوية الداخلية المجاورة لها على خط مستقيم، فمجموعهما ١٨٠°. فإذا كانت الزاوية الداخلية ١١٥° فالخارجية ١٨٠ − ١١٥ = ٦٥°. تتبّع الزوايا بهذه الطريقة خطوة خطوة، مستعملًا المستقيم (١٨٠°) والتوازي.

بقي القطران. في متوازي الأضلاع ينصّف كل قطر الآخر، أي أن نقطة تقاطعهما هي منتصف كل منهما. لكنهما في العادة غير متساويين وغير متعامدين.

كثير من أسئلة القدرات يرسم قطرًا داخل متوازي الأضلاع فيتكوّن مثلث، وتدلّك علامات التساوي على أن هذا المثلث متساوي الساقين. عندئذ اجمع خصائص المثلث مع خصائص متوازي الأضلاع.

عرفت الآن خصائص متوازي الأضلاع. إذا أضفت إليه شرطًا واحدًا حصلت على نوع أخص يرث كل ما سبق ويزيد عليه. نبدأ بشرط تساوي الأضلاع.

المعين متوازي أضلاع أضلاعه الأربعة متساوية. ويكفي أن يتساوى ضلعان متجاوران في متوازي الأضلاع ليصير معينًا، لأن كل ضلع يساوي مقابله فتنتقل المساواة إلى الأضلاع الأربعة. ولا يلزم أن يكون مربعًا، لأن زواياه قد لا تكون قائمة.

يرث المعين كل خصائص متوازي الأضلاع، ويزيد عليها أمرين في القطرين: القطران متعامدان، وكل قطر ينصّف الزاويتين اللتين يصل بينهما. لكن القطرين غير متساويين في العادة.

التعامد يقسم المعين إلى أربعة مثلثات قائمة متطابقة. ضلعا القائمة في كل مثلث هما نصفا القطرين، ووتره ضلع المعين. لذلك تستطيع أن تحسب الضلع من القطرين بنظرية فيثاغورس.

المعين أضاف إلى متوازي الأضلاع شرطًا على الأضلاع. ننتقل الآن إلى الشرط الآخر، وهو أن تكون الزوايا قائمة.

المستطيل متوازي أضلاع زواياه الأربع قائمة. يرث من متوازي الأضلاع أن قطريه يتنصّفان، ويزيد عليه أن قطريه متساويان. لكن قطريه غير متعامدين، إلا إذا كان مربعًا.

ولأن القطرين متساويان وينصّف كل منهما الآخر، فأنصافهما الأربعة متساوية. إذن كل مثلث رأسه نقطة التقاطع وقاعدته ضلع من أضلاع المستطيل هو مثلث متساوي الساقين. هذه الفكرة هي مفتاح أسئلة الزوايا في المستطيل.

بقي أن نجمع الشرطين معًا: زوايا قائمة وأضلاع متساوية. هذا هو المربع.

المربع مستطيل ومعين معًا، فيملك خصائصهما كلها: أضلاعه متساوية، وزواياه قائمة، وقطراه متساويان ومتعامدان وينصّف كل منهما الآخر، وكل قطر يقسم الزاوية القائمة إلى ٤٥° و٤٥°.

القطر يقسم المربع إلى مثلثين قائمين متساويي الساقين. إذا كان طول الضلع ل، فبنظرية فيثاغورس: القطر² = ل² + ل² = ٢ل²، إذن القطر = ل × √٢. احفظ الاتجاهين: من الضلع إلى القطر تضرب في √٢، ومن القطر إلى الضلع تقسم على √٢.

وإذا كُتبت أطوال الأضلاع بدلالة س، فتساوي أضلاع المربع يعطيك معادلة جاهزة. والأمر نفسه في تساوي الضلعين المتقابلين في المستطيل، أو تساوي قطريه.

بهذا انتهت عائلة متوازي الأضلاع. الفرعان الباقيان لا يتوازى فيهما زوجان من الأضلاع، لذلك تختلف خصائصهما، فلا تنقل إليهما شيئًا مما سبق إلا ما يرد في وصفهما.

شبه المنحرف رباعي فيه ضلعان متقابلان فقط متوازيان، ويسمّيان القاعدتين. أما الضلعان الآخران فيسمّيان الساقين.

الزاويتان الواقعتان على ساق واحدة بين القاعدتين مجموعهما ١٨٠°، للسبب نفسه الذي عرفته في متوازي الأضلاع: هما زاويتان داخليتان بين مستقيمين متوازيين. وهذا يصح في كل ساق على حدة، ولا يصح في زاويتي القاعدة الواحدة.

وإذا تساوى الساقان سُمّي شبه منحرف متطابق الساقين. فيه تتساوى زاويتا كل قاعدة، ويتساوى القطران.

الطائرة الورقية رباعي فيه زوجان من الأضلاع المتجاورة المتساوية: ضلعان قصيران متساويان يلتقيان عند رأس، وضلعان طويلان متساويان يلتقيان عند الرأس المقابل. أضلاعها المتقابلة غير متساوية، فهي ليست متوازي أضلاع.

القطر الذي يصل بين هذين الرأسين هو محور تماثلها، ومنه تأتي خصائصها: القطران متعامدان، وهذا القطر ينصّف القطر الآخر (والعكس لا يصح)، وينصّف زاويتي الرأسين اللذين يمرّ بهما. أما زاويتا الرأسين الآخرين فمتساويتان.

أكثر ما يختلط على الطالب خصائص الأقطار، والجدول الآتي يجمعها. احفظ منه أمرين: التساوي خاصية المستطيل، والتعامد خاصية المعين، والمربع وحده يجمع الاثنين.

عند حل أي سؤال اتّبع ثلاث خطوات: حدّد نوع الشكل من نص السؤال ومن علامات الرسم، ثم اسأل نفسك ما الذي يضمنه هذا النوع، ثم اختر من خصائصه ما يربط المعلوم بالمجهول. وإن لم يكفِ ذلك فاستعن بمجموع زوايا الرباعي ٣٦٠°، وبخصائص المثلث الذي يصنعه القطر.