القيمة المنزلية وتكوين الأعداد

قيمة الرقم = الرقم × قيمة منزلته، والعدد هو مجموع قيم أرقامه.

المنازل تُعدّ من اليمين: الآحاد ١، العشرات ١٠، المئات ١٠٠، الآلاف ١٠٠٠، وهكذا.

الصفر قيمته صفر، لكنه يحجز المنزلة الفارغة ويُبقي كل رقم في مكانه.

كل خطوة نحو اليسار تضرب القيمة في ١٠، وكل خطوة نحو اليمين تقسمها على ١٠. عُدّ الخطوات بين المنزلتين، لا المنازل التي بينهما.

«رقم العشرات» خانة واحدة.

«عدد العشرات» هو العدد بعد حذف رقم الآحاد.

وبالطريقة نفسها: لعدد المئات احذف آخر رقمين، ولعدد الآلاف احذف آخر ثلاثة أرقام.

العدد ذو الرقمين أ وب قيمته ١٠ × أ + ب، لا أ × ب ولا أ + ب.

والعدد ذو الثلاثة أرقام أ وب وج قيمته ١٠٠ × أ + ١٠ × ب + ج.

كل حرف رقم من ٠ إلى ٩، وأعلى منزلة لا تكون صفرًا.

في الجمع العمودي بأرقام مجهولة ابدأ من عمود الآحاد، وتتبّع الحمل.

لتكوين أكبر عدد ضع الأرقام الكبرى في المنازل العليا، ولتكوين أصغر عدد ضع فيها الصغرى، مع مراعاة قيود السؤال.

تُكتب الأعداد كلها بعشرة رموز فقط تسمّى الأرقام: ٠، ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦، ٧، ٨، ٩. أما العدد فهو ما تكوّنه حين تصفّ هذه الأرقام بعضها بجانب بعض، مثل ٤٦٠٧٣. الرقم ٧ رمز واحد، لكن قيمته في ٧٠ تختلف عن قيمته في ٧٠٠. ما يحدد قيمته هو مكانه.

كل خانة في العدد تسمّى منزلة، وتُعدّ المنازل من اليمين: الآحاد أولًا، ثم العشرات، ثم المئات، ثم الآلاف، ثم عشرات الآلاف، وهكذا. وقيمة كل منزلة عشرة أضعاف قيمة المنزلة التي على يمينها مباشرة: ١، ١٠، ١٠٠، ١٠٠٠، ١٠٠٠٠.

القاعدة الأولى إذن: قيمة الرقم = الرقم × قيمة منزلته، والعدد كله هو مجموع قيم أرقامه. تسمّى كتابة العدد بهذا الجمع الصيغة الموسّعة، وهي الأداة التي تستعملها في كل ما يأتي في هذا الدرس.

انظر إلى الصفر في منزلة المئات. قيمته صفر، لكن له وظيفة: هو يحجز المنزلة الفارغة حتى يبقى كل رقم في مكانه. لو حذفته لصار العدد ٤٦٧٣، فينزل كل من ٤ و٦ منزلة واحدة وتصغر قيمة كل منهما عشر مرات.

بما أن كل منزلة عشرة أضعاف المنزلة التي على يمينها، فكل خطوة ينتقلها الرقم نحو اليسار تضرب قيمته في ١٠، وكل خطوة نحو اليمين تقسمها على ١٠. ولهذا تقارن بين قيمتي رقمين في عدد واحد بأن تعدّ الخطوات بين منزلتيهما.

انتبه: عُدّ الخطوات، لا المنازل التي تقع بين المنزلتين. كل خطوة تضيف صفرًا واحدًا. من الآحاد إلى الآلاف ثلاث خطوات (آحاد ← عشرات ← مئات ← آلاف)، فقيمة الرقم في الآلاف ١٠٠٠ ضعف قيمته في الآحاد، مع أن بينهما منزلتين فقط.

بعد أن عرفت قيمة كل رقم، انتبه إلى سؤالين متشابهين في اللفظ مختلفين في المعنى: «ما رقم العشرات؟» و«ما عدد العشرات؟». الأول يسأل عن رمز واحد في خانة واحدة. والثاني يسأل: كم عشرة كاملة يحويها العدد كله؟

لإيجاد عدد العشرات احذف رقم الآحاد، ولإيجاد عدد المئات احذف آخر رقمين، ولإيجاد عدد الآلاف احذف آخر ثلاثة أرقام. هذا الحذف هو نفسه قسمة العدد على ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠ ثم أخذ الجزء الصحيح.

وتفيدك حقيقة أن المنازل العليا لا تؤثر في المنازل الدنيا في اختصار حسابات طويلة. في الجمع والضرب ينتقل الحمل دائمًا من اليمين إلى اليسار، فلا يصل إلى الآحاد أو العشرات شيء من المنازل الأعلى. فإن سُئلت عن رقم الآحاد في ناتج ضرب كفاك أن تضرب رقمي الآحاد. وإن سُئلت عن رقم العشرات كفاك أن تضرب العددين المكوّنين من آخر رقمين في كل عامل.

لا تكتفِ بضرب رقمي العشرات وحدهما. في المثال السابق يعطي ٤ × ٥ = ٢٠، فيوحي بأن رقم العشرات صفر، وهذا خطأ. السبب أن ضرب الآحاد في العشرات، والحمل الآتي من ضرب الآحاد، يصلان هما أيضًا إلى منزلة العشرات.

حتى الآن كنت تفكّك عددًا معلومًا. الآن تعمل في الاتجاه المعاكس: تكوّن عددًا أرقامه مجهولة وترمز لها بحروف. العدد المكوّن من رقمين، رقم عشراته أ ورقم آحاده ب، قيمته بالصيغة الموسّعة ١٠ × أ + ب. هو ليس أ × ب وليس أ + ب.

والعدد المكوّن من ثلاثة أرقام، رقم مئاته أ وعشراته ب وآحاده ج، قيمته ١٠٠ × أ + ١٠ × ب + ج. وكل حرف من هذه الحروف يخضع لقيدين: أن يكون رقمًا واحدًا من ٠ إلى ٩، وألّا يكون صفرًا إن كان في أعلى منزلة، وإلا نقص عدد أرقام العدد.

أشهر صورة لهذه المسائل في اختبار القدرات عملية جمع أو طرح عمودية فيها أرقام مجهولة. ابدأ من عمود الآحاد في أقصى اليمين، لأنه العمود الوحيد الذي لا يصله حمل، ثم انتقل إلى العشرات ومعك ما حملته. واقرأ كل عدد كما هو مكتوب في العمود: رقم الآحاد في أقصى اليمين دائمًا، حتى لو كان حرفًا.

ومن مسائل التكوين أيضًا أن تُعطى أرقامًا ويُطلب منك أكبر عدد أو أصغر عدد يتكوّن منها. للأكبر ضع الأرقام الكبرى في المنازل العليا، وللأصغر ضع الأرقام الصغرى فيها. وراعِ القيود المذكورة في السؤال: هل يُسمح بتكرار الرقم؟ هل المطلوب عدد زوجي أم فردي؟ وأهم قيد: أعلى منزلة لا تأخذ صفرًا.