أنواع العلاقات التناسبية

قبل أي حساب اسأل: إذا تضاعفت الكمية الأولى، فماذا يحدث للثانية؟

إن تضاعفت فالتناسب طردي.

وإن صارت نصفًا فالتناسب عكسي.

وإن لم يحدث هذا ولا ذاك فالعلاقة ليست تناسبية، ولا تصح فيها أي من الطريقتين.

الطردي: القسمة ص ÷ س ثابتة. أي عملية تجريها على الكمية الأولى أجرِها على الثانية.

النسبة ٤ : ٧ طردية أيضًا. أوجد قيمة الجزء الواحد، ثم اضربها في عدد الأجزاء.

إذا كان ٢٠٪ من س = ٣٠٪ من ص فإن س : ص = ٣ : ٢.

العكسي: فيه مقدار كلي ثابت يُقتسم، فحاصل الضرب س × ص ثابت. احسبه ثم اقسمه على القيمة الجديدة.

في مسائل الغياب: الحاضرون × الزيادة = حصص الغائبين.

لاختبار جدول: اقسم ص ÷ س، فإن ثبت الناتج فالتناسب طردي.

وإلا فاضرب س × ص، فإن ثبت الناتج فالتناسب عكسي.

وإلا فالعلاقة ليست تناسبية.

زيادة الكميتين معًا لا تكفي، فالأجرة التي فيها رسم ثابت ليست طردية.

والعمليات التي تحدث في وقت واحد لا يتغير زمنها بتغير العدد.

المركب: غيّر عاملًا واحدًا في كل خطوة وثبّت الباقي.

إن احتاج المجهول أن يكبر فاضربه في كسر أكبر من ١، وإن احتاج أن يصغر فاضربه في كسر أصغر من ١.

أو احسب إنتاج الوحدة، كآلة واحدة في ساعة واحدة، ثم ابنِ عليه.

في مسائل كثيرة كميتان تتغيران معًا، مثل الوزن والسعر، أو عدد العمال وعدد الأيام، أو السرعة والزمن. قبل أي حساب اسأل نفسك: إذا تضاعفت الكمية الأولى، فماذا يحدث للثانية؟

لهذا السؤال ثلاث إجابات، ولكل إجابة طريقة حل. إذا تضاعفت الثانية فالتناسب طردي. وإذا صارت نصف ما كانت فالتناسب عكسي. وإذا لم تتضاعف ولم تصر نصفًا فالعلاقة ليست تناسبية، ولا يصح فيها أي من الطريقتين. الرسم يعرض ثلاث حالات تبدأ كلها بمضاعفة الكمية الأولى من ٣ إلى ٦.

نبدأ بالتناسب الطردي. فيه تتغير الكميتان بالعامل نفسه: إذا ضُربت إحداهما في عدد ضُربت الأخرى في العدد نفسه. لذلك تبقى القسمة بينهما ثابتة، فالسعر ÷ الوزن يساوي دائمًا سعر الوحدة الواحدة.

هذا يعطيك طريقة الحل: كل عملية تُجريها على الكمية الأولى أجرِها على الثانية أيضًا. ومن أسهل الطرق أن تصل إلى وحدة سهلة، كمئة جرام أو قطعة واحدة، ثم تضرب.

والنسبة المكتوبة بالصورة ٤ : ٧ تناسب طردي أيضًا. معناها أن الكميتين مقسومتان إلى أجزاء متساوية القيمة: للأولى ٤ أجزاء وللثانية ٧. أوجد قيمة الجزء الواحد من الكمية المعلومة، ثم اضربه في عدد أجزاء المطلوبة.

وقد تأتيك النسبة مخفية في صورة نسبتين مئويتين متساويتين، مثل: ٢٠٪ من س = ٣٠٪ من ص. العدد الذي نأخذ منه النسبة الأصغر يجب أن يكون هو الأكبر ليعطي الناتج نفسه، لذلك تنعكس النسبة.

في كل ما سبق كبرت الكميتان معًا. لكن ماذا لو كان هناك مقدار ثابت يُقتسم بين الكميتين؟ هنا تنقلب العلاقة.

في التناسب العكسي يوجد مقدار كلي ثابت، كعمل واحد ينجزه العمال، أو مسافة واحدة تقطعها سيارة، أو مبلغ واحد يُوزَّع. إذا زاد العمال قلّت الأيام، لأن العمل نفسه يُقسم على أيدٍ أكثر.

الثابت هنا هو حاصل الضرب: العمال × الأيام = العمل كله. تخيّله مساحة مستطيل: يطول أحد ضلعيه فيقصر الآخر، والمساحة لا تتغير.

والفكرة نفسها في السرعة والزمن، فالمسافة الثابتة = السرعة × الزمن. وفي توزيع مبلغ ثابت، فالمبلغ = عدد الأشخاص × نصيب الفرد. احسب الثابت من المعطيات، ثم اقسمه على القيمة الجديدة.

أصعب صور العكسي في الاختبار أن يغيب بعض الأشخاص فيزيد نصيب الحاضرين. المفتاح أن مجموع الزيادة التي نالها الحاضرون كلهم هو بالضبط الأنصبة التي تركها الغائبون.

عرفنا حتى الآن نوع العلاقة من معنى المسألة. لكن الاختبار قد يضع أمامك علاقة ليست تناسبية أصلًا، فيجب أن تتأكد قبل أن تطبّق أي طريقة.

لتختبر جدولًا اقسم أولًا كل ص على س. فإن ثبت الناتج فالتناسب طردي. وإن لم يثبت فاضرب س × ص، فإن ثبت الناتج فالتناسب عكسي. وإن لم يثبت أي منهما فالعلاقة ليست تناسبية.

انتبه إلى أن زيادة الكميتين معًا لا تعني أنهما متناسبتان. خذ أجرة سيارة فيها ٥ ريالات عند الركوب ثم ريالان لكل كيلومتر: الأجرة تزيد مع المسافة، لكنها لا تتضاعف بتضاعفها، لأن الريالات الخمسة ثابتة. أما العداد الذي يحسب ٣ ريالات لكل كيلومتر فقط فطردي، لأنه يبدأ من الصفر: صفر كيلومتر يعني صفر ريال.

وفخ آخر شائع: عمليات تحدث في وقت واحد لا واحدة بعد أخرى. هنا لا يتغير الزمن بتغير العدد أصلًا، فلا تقسم ولا تضرب.

بعد أن عرفت كيف تحدد اتجاه العلاقة بين كميتين، صرت جاهزًا لمسائل فيها ثلاث كميات أو أكثر تتغير معًا.

في التناسب المركب يتغير أكثر من عامل في الوقت نفسه، مثل عدد العمال والزمن وكمية الإنتاج. لا تحاول رؤيتها كلها دفعة واحدة. غيّر عاملًا واحدًا في كل خطوة وثبّت الباقي، واسأل: هل يحتاج هذا التغيير إلى قيمة أكبر للمجهول أم أصغر؟

إذا احتاج المجهول أن يكبر فاضربه في كسر أكبر من ١، وإذا احتاج أن يصغر فاضربه في كسر أصغر من ١. هكذا يتحول المركب إلى خطوات طردية وعكسية بسيطة مما تعرفه.

وهناك طريقة ثانية سريعة: احسب إنتاج الوحدة الواحدة، أي ما تنتجه آلة واحدة في ساعة واحدة، ثم ابنِ عليه المطلوب.

وقد تتغير العوامل كلها بالنسبة نفسها فيلغي بعضها بعضًا. لا تحكم من عامل واحد، بل مرّ عليها كلها.