مخططات فن والشمول والاستبعاد

كل شخص يقع في منطقة واحدة فقط من مخطط فن.

عدد المجموعة يشمل دائرتها كلها، ومعها المنطقة المشتركة.

لذلك املأ المخطط من الداخل إلى الخارج: ابدأ بالتقاطع، ثم اطرحه من عدد كل دائرة.

الجمع ١٦ + ١٢ يعدّ المشتركين مرتين، فتطرحهم مرة:

واحدة على الأقل = أ + ب − الاثنتان

الكل = واحدة على الأقل + ولا واحدة

إذا كان الجميع موزّعين على المجموعتين فلا أحد في الخارج.

لإيجاد المشتركين: اجمع المجموعتين، واطرح عدد الأشخاص المختلفين.

«على الأقل» تضم المشتركين، و«فقط» تستبعدهم.

لثلاث مجموعات سبع مناطق داخل الدوائر، وواحدة خارجها. املأها بهذا الترتيب:

١. المركز (الثلاث معًا).

٢. كل منطقة ثنائية = التقاطع الثنائي − المركز.

٣. كل منطقة منفردة = عدد المجموعة − كل ما امتلأ داخل دائرتها.

عبارة «مادتان فقط» تعطيك منطقة جاهزة، فلا تطرح منها المركز.

إن احتجت عددًا واحدًا فقط فاستعمل القانون:

واحدة على الأقل = مجموع المجموعات − مجموع التقاطعات الثنائية + الثلاثي

تضيف الثلاثي لأنه جُمع ٣ مرات ثم طُرح ٣ مرات.

في اثنتين فقط = مجموع التقاطعات الثنائية − ٣ × الثلاثي

كثير من أسئلة القدرات تصف أشخاصًا موزّعين على مجموعتين، مثل من يدرس لغة ومن يدرس لغة أخرى، وبعضهم يدرس الاثنتين. مخطط فن يرسم كل مجموعة دائرة، ويجعل الدائرتين تتداخلان حتى يكون للمشتركين مكان خاص بهم.

كل شخص يقع في منطقة واحدة فقط من هذه المناطق الأربع. هذه هي الفكرة التي يقوم عليها الدرس كله: لا يُعدّ أحد في منطقتين.

لذلك انتبه إلى الفرق بين عدد المجموعة وعدد منطقتها. عبارة «١٦ يلعبون كرة القدم» تعني الدائرة كلها، أي من يلعب كرة القدم وحدها ومن يلعبها مع السلة. فلا تضع العدد ١٦ في منطقة «فقط» مباشرة.

ابدأ إذن بالمنطقة المشتركة، فهي التي يأتي عددها صريحًا في الغالب. ثم اطرحها من عدد كل دائرة، فيبقى لك عدد جزئها المنفرد.

لاحظ ما حدث في المثال: جمع ١٦ + ١٢ يعطي ٢٨، لكن من يلعب شيئًا منهما ٢٣ طالبًا فقط. الفرق ٥ هو عدد المشتركين بالضبط، لأن كل واحد منهم دخل العدّ مرتين، مرة مع كرة القدم ومرة مع السلة.

من هنا جاء قانون الشمول والاستبعاد لمجموعتين: من في أ أو ب (أي في واحدة على الأقل) = عدد أ + عدد ب − عدد من في الاثنتين. نجمع المجموعتين، ثم نطرح ما عددناه مرتين.

وإذا كان في السؤال أشخاص خارج المجموعتين، فالكل = من في واحدة على الأقل + من في ولا واحدة. أما إذا قال السؤال إن الجميع موزَّعون على المجموعتين، كعبارة «قُسّموا إلى لجنتين»، فلا أحد في الخارج، والكل هو عدد من في واحدة على الأقل.

في القانون أربعة أعداد، فإذا عرفت ثلاثة منها استخرجت الرابع. وأكثر ما تسأل عنه القدرات هو عدد المشتركين، وطريقته: اجمع عددي المجموعتين، ثم اطرح عدد الأشخاص المختلفين، فالزيادة هي من عُدّوا مرتين.

حين تعرف عدد المشتركين تصبح بقية المناطق طرحًا بسيطًا. لكن السؤال يسمّي المنطقة المطلوبة بعبارة لغوية، فاعرف موضع كل عبارة على المخطط قبل أن تحسب:

الفكرة نفسها تمتد إلى ثلاث مجموعات، لكن التداخل يصبح أعمق: قد يكون الشخص في مجموعة واحدة، أو في اثنتين، أو في الثلاث معًا. والدوائر الثلاث المتداخلة تصنع سبع مناطق داخلها ومنطقة ثامنة خارجها.

ترتيب التعبئة هنا أهم منه في المجموعتين. ابدأ بالمركز (الثلاث معًا). ثم املأ كل منطقة ثنائية بطرح المركز من التقاطع الثنائي. ثم املأ كل منطقة منفردة بطرح كل ما امتلأ داخل دائرتها. كل خطوة تحتاج نتيجة التي قبلها، ولهذا تسير من الداخل إلى الخارج.

أحيانًا لا تحتاج إلى ملء المخطط كله، بل إلى عدد واحد فقط، كعدد من في واحدة على الأقل أو عدد من في الثلاث. هنا يختصر عليك القانون الطريق.

قانون ثلاث مجموعات: من في واحدة على الأقل = (مجموع أعداد المجموعات الثلاث) − (مجموع التقاطعات الثنائية الثلاثة) + (عدد من في الثلاث).

لماذا نضيف الثلاثي في النهاية؟ من في الثلاث عُدّ ٣ مرات عند جمع المجموعات، ثم طُرح ٣ مرات لأنه داخل كل تقاطع ثنائي، فصار عدّه صفرًا. لذلك نضيفه مرة واحدة ليُحسب كغيره.

هذا القانون يفترض أن عدد كل تقاطع ثنائي يشمل من في الثلاث. أما إذا قال السؤال «يدرسون مادتين فقط»، فهذه مناطق جاهزة تضعها في المخطط مباشرة، ولا تطرح منها المركز.

وإذا سُئلت عمّن في اثنتين فقط، فاطرح المركز من كل تقاطع ثنائي، أي احسب: مجموع التقاطعات الثنائية − ٣ × الثلاثي. في مثال المواد: (٩ + ٧ + ١٠) − ٣ × ٤ = ٢٦ − ١٢ = ١٤، وهو ٥ + ٣ + ٦.