المساحة والحجم

في شكلين متشابهين يساوي كل طول في أحدهما الطول المناظر له في الآخر مضروبًا في عدد ثابت ك، ويسمّى معامل التشابه.

المساحة طول × طول، فتُضرب في ك².

الحجم طول × طول × طول، فيُضرب في ك³.

للرجوع من المساحة إلى الطول خذ الجذر التربيعي، وللرجوع من الحجم إلى الطول خذ الجذر التكعيبي.

للانتقال بين المساحة والحجم ارجع أولًا إلى الطول ثم انطلق منه.

تحقّق من التشابه أولًا، فلا يكفي تقارب المظهر. يجب أن تكون كل الأطوال المتناظرة قد ضُربت في العدد نفسه.

المستطيلان ٢ × ٤ و٣ × ٦ متشابهان، أما ٢ × ٤ و٣ × ٥ فليسا متشابهين.

المربعات والدوائر والمثلثات متطابقة الأضلاع والمكعبات والكرات متشابهة دائمًا.

الخط الموازي لأحد أضلاع المثلث يقتطع منه مثلثًا مشابهًا للكبير. معامل التشابه هو نسبة الجزء المقطوع من الضلع إلى الضلع كله.

القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين توازي الضلع الثالث وتساوي نصفه.

في أسئلة الزيادة، الزيادة هي ما أُضيف فقط: اطرح ١ من المعامل الجديد ثم اضرب في ١٠٠٪.

إذا أُعطيت الزيادة في الطول نسبةً مئوية، فحوّلها إلى معامل أولًا.

ابدأ بمربع طول ضلعه ١ سم، فمساحته ١ سم². إذا ضاعفت الضلع ليصبح ٢ سم، فقد تظن أن المساحة تتضاعف أيضًا. لكنها تصبح ٢ × ٢ = ٤ سم²، أي أربعة أمثال المساحة الأولى لا مثليها.

السبب أن المساحة تمتد في اتجاهين: الطول والعرض. حين تضاعف الأطوال يتضاعف الاتجاهان معًا، فتُضرب المساحة في ٢ مرتين. وإذا جعلت الضلع ثلاثة أمثاله، ضُربت المساحة في ٣ × ٣ = ٩.

هذه الملاحظة لا تخص المربع وحده، بل تصح في كل شكلين متشابهين. الشكلان المتشابهان لهما الصورة نفسها، وكل طول في أحدهما يساوي الطول المناظر له في الآخر مضروبًا في عدد ثابت ك. يسمّى هذا العدد معامل التشابه.

كل مساحة تُحسب بضرب طول في طول، كالقاعدة في الارتفاع أو نصف القطر في نصف القطر. فإذا ضُرب كل طول في ك، ضُربت المساحة في ك × ك = ك². إذن نسبة المساحتين تساوي مربع نسبة الأطوال، سواء كان الشكلان مثلثين أو دائرتين أو أي شكلين متشابهين.

المساحة تمتد في اتجاهين، أما الحجم فيمتد في ثلاثة. خذ مكعبًا طول ضلعه ١ فحجمه ١. إذا ضاعفت الضلع إلى ٢، صار المكعب طبقتين، في كل طبقة ٢ × ٢ = ٤ مكعبات صغيرة، فيكون حجمه ٨.

كل حجم يُحسب بضرب ثلاثة أطوال: الطول والعرض والارتفاع. فإذا ضُربت الأطوال في ك، ضُرب الحجم في ك × ك × ك = ك³. إذن نسبة الحجمين تساوي مكعب نسبة الأطوال.

في المجسم الواحد يتغير سطحه بمربع المعامل وحجمه بمكعبه. فالطلاء الذي يغطي السطح يتبع المساحة، والماء الذي يملأ الداخل يتبع الحجم.

انتقلت حتى الآن من الأطوال إلى المساحات والحجوم. لكن أسئلة كثيرة تعطيك نسبة المساحات أو الحجوم وتطلب شيئًا آخر، فتحتاج إلى السير في الاتجاه المعاكس.

لتعود من المساحة إلى الطول خذ الجذر التربيعي، ولتعود من الحجم إلى الطول خذ الجذر التكعيبي. وللانتقال بين المساحة والحجم لا تنتقل مباشرة، بل ارجع أولًا إلى الأطوال ثم انطلق منها.

كل ما سبق مشروط بأن يكون الشكلان متشابهين فعلًا. فكيف تتأكد من ذلك، وأين يختبئ التشابه في الأسئلة؟

التشابه ليس تقارب المظهر. المستطيلان ٢ × ٤ و٣ × ٥ يبدوان متقاربين لكنهما غير متشابهين، لأن ٣ ÷ ٢ = ١٫٥ بينما ٥ ÷ ٤ = ١٫٢٥. أما المستطيلان ٢ × ٤ و٣ × ٦ فمتشابهان، لأن كل ضلع ضُرب في ١٫٥ نفسها.

بعض الأشكال متشابهة دائمًا مهما اختلف حجمها، فلا تحتاج إلى التحقق منها: كل المربعات، وكل الدوائر، وكل المثلثات متطابقة الأضلاع، وكل المكعبات، وكل الكرات.

وأشهر موضع يختبئ فيه التشابه خطٌّ يوازي أحد أضلاع المثلث، فيقتطع منه مثلثًا صغيرًا مشابهًا للكبير. معامل التشابه هو نسبة الجزء المقطوع من الضلع إلى الضلع كله. ومن ذلك القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين، فهي توازي الضلع الثالث وتساوي نصفه.

بقي نوع يتكرر كثيرًا: السؤال عن نسبة الزيادة في المساحة أو الحجم، وفيه فخ إضافي. إذا صار الضلع ثلاثة أمثاله، صارت المساحة ٩ أمثالها. لكن الزيادة هي ما أُضيف فقط، أي ٩ − ١ = ٨ أمثال المساحة الأصلية، وهذا يساوي ٨٠٠٪ لا ٩٠٠٪.

الطريقة إذن: احسب معامل المساحة أو الحجم الجديد، واطرح منه ١، ثم اضرب الناتج في ١٠٠٪. وإذا أُعطيت الزيادة في الطول نسبةً مئوية، فحوّلها إلى معامل أولًا.