قابلية القسمة

لتعرف هل يقبل العدد القسمة، انظر إلى أرقامه ولا تقسم.

٢ و٥ و١٠: يكفي آخر رقم. يقبل ٢ إن كان آخر رقم زوجيًا، ويقبل ٥ إن كان ٠ أو ٥، ويقبل ١٠ إن كان ٠.

٤: افحص العدد المكوّن من آخر رقمين، لأن ١٠٠ = ٤ × ٢٥.

٨: افحص العدد المكوّن من آخر ثلاثة أرقام، لأن ١٠٠٠ = ٨ × ١٢٥.

٣ و٩: افحص مجموع الأرقام. يقبل العدد ٣ إن قبل المجموع ٣، ويقبل ٩ إن قبل المجموع ٩.

٦: يجب أن يكون العدد زوجيًا وأن يقبل مجموع أرقامه القسمة على ٣، والشرطان معًا.

١١: ابدأ من الآحاد، واجمع أرقام المنازل الفردية، ثم اجمع أرقام المنازل الزوجية.

إن كان الفرق بين المجموعين ٠ أو مضاعفًا لـ ١١ فالعدد يقبل القسمة على ١١.

إذا كان في العدد رقم مجهول س، فاكتب مجموع الأرقام بدلالة س، وتذكّر أن س بين ٠ و٩.

في الأسئلة المركبة: «و» تعني أن يتحقق الشرطان معًا، و«أو» يكفي فيها شرط واحد.

أما «ولا يقبل» فيُستبعد فيها العدد الذي يحقق الشرط.

يقبل العدد القسمة على ٣ إذا قسمته على ٣ فكان الباقي صفرًا، أي كان الناتج عددًا صحيحًا. العدد ٢١ يقبل القسمة على ٣ لأن ٢١ ÷ ٣ = ٧، والعدد ٢٢ لا يقبلها لأن الباقي ١.

تأتي هذه الفكرة في أسئلة القدرات بصيغ مختلفة: «يقبل القسمة على ٤»، «من مضاعفات ٤»، «يمكن كتابته على الصورة ٤ن حيث ن عدد صحيح»، «يُوزَّع على ٤ أشخاص بالتساوي دون باقٍ». المطلوب في كل هذه الصيغ واحد: هل يقسم ٤ العدد دون باقٍ؟

القسمة المطوّلة لكل خيار تضيّع وقتك. قواعد قابلية القسمة تعطيك الجواب بنظرة إلى أرقام العدد، وهي ثلاث عائلات: النظر إلى آخر الأرقام، وجمع الأرقام، والجمع بين قاعدتين. يضاف إليها قاعدة خاصة بالعدد ١١. نبدأ بالأسهل.

يمكنك فصل أي عدد إلى جزأين: رقم الآحاد، وما قبله مضروبًا في ١٠. مثلًا ٣٧٤٦ = ٣٧٤٠ + ٦. الجزء ٣٧٤٠ ينتهي بصفر، أي أنه مضاعف لـ ١٠، فهو يقبل القسمة على ٢ وعلى ٥ وعلى ١٠ في كل الأحوال. لذلك يتوقف الحكم على رقم الآحاد وحده.

القسمة على ٢: أن يكون رقم الآحاد زوجيًا، أي ٠ أو ٢ أو ٤ أو ٦ أو ٨. القسمة على ٥: أن يكون رقم الآحاد ٠ أو ٥. القسمة على ١٠: أن يكون رقم الآحاد ٠.

لماذا لا يكفي رقم الآحاد في القسمة على ٤؟ لأن ١٠ لا يقبل القسمة على ٤، فقد لا يقبلها الجزء الذي قبل الآحاد. لكن ١٠٠ = ٤ × ٢٥، فالمئات وما فوقها تقبل القسمة على ٤ في كل الأحوال. لذلك تنظر إلى العدد المكوّن من آخر رقمين: إن قبل القسمة على ٤ قبلها العدد كله.

وينطبق المنطق نفسه على ٨: بما أن ١٠٠٠ = ٨ × ١٢٥، فالألوف وما فوقها تقبل القسمة على ٨ في كل الأحوال، وتكفي النظرة إلى العدد المكوّن من آخر ثلاثة أرقام.

طريقة سريعة لفحص آخر رقمين على ٤: إذا كان رقم العشرات زوجيًا فيجب أن تكون الآحاد ٠ أو ٤ أو ٨، وإذا كان رقم العشرات فرديًا فيجب أن تكون الآحاد ٢ أو ٦. فالعدد ٤٨ يقبل القسمة على ٤ (عشرات زوجية وآحاد ٨)، وكذلك ٣٦ (عشرات فردية وآحاد ٦)، أما ٧٤ فلا (عشرات فردية وآحاد ٤).

ولفحص ثلاثة أرقام على ٨ بسرعة: اقسمها على ٢ ثلاث مرات متتالية. إذا كان الناتج عددًا صحيحًا في المرات الثلاث فهي تقبل القسمة على ٨.

النظر إلى الأرقام الأخيرة لا ينفع مع ٣ و٩. الأعداد ١٢ و٢٢ و٣٢ آحادها واحدة، ولا يقبل القسمة على ٣ منها إلا ١٢. هنا تحتاج فكرة أخرى: جمع الأرقام.

سبب ذلك أن ١٠ = ٩ + ١، و١٠٠ = ٩٩ + ١، و١٠٠٠ = ٩٩٩ + ١. فكل رقم في العدد يساهم بجزء يقبل القسمة على ٩ مضافًا إليه الرقم نفسه. وحين تجمع هذه الأجزاء كلها تجد أن العدد يساوي مضاعفًا لـ ٩ زائد مجموع أرقامه.

القسمة على ٣: يقبل العدد القسمة على ٣ إذا قبلها مجموع أرقامه. القسمة على ٩: يقبل العدد القسمة على ٩ إذا قبلها مجموع أرقامه. وبما أن ٩ = ٣ × ٣، فكل عدد يقبل القسمة على ٩ يقبلها على ٣ أيضًا، أما العكس فغير صحيح دائمًا.

انتبه: وجود الرقم ٣ أو ٩ في العدد لا يدل على شيء. العدد ٣٤ لا يقبل القسمة على ٣ لأن مجموع رقميه ٧، والعدد ٥١ يقبلها مع أنه لا يحتوي الرقم ٣، فـ ٥١ = ٣ × ١٧.

تحل قاعدة المجموع نوعًا متكررًا من الأسئلة: عدد فيه رقم مجهول، والمطلوب قيمة هذا الرقم التي تجعل العدد يقبل القسمة. اكتب مجموع الأرقام بدلالة المجهول، ثم ابحث عن المضاعفات الممكنة، وتذكّر أن الرقم المجهول لا يقل عن ٠ ولا يزيد على ٩.

لبعض الأعداد قاعدة مركبة من قاعدتين عرفتهما. بما أن ٦ = ٢ × ٣، فالعدد يقبل القسمة على ٦ إذا قبلها على ٢ وعلى ٣ معًا: أن يكون زوجيًا، وأن يقبل مجموع أرقامه القسمة على ٣. ولا يكفي أحد الشرطين وحده.

تنطبق الفكرة نفسها على أعداد أخرى، بشرط أن يكون العاملان بلا عامل مشترك بينهما: ١٢ = ٣ × ٤ فافحص ٣ و٤، و١٥ = ٣ × ٥، و١٨ = ٢ × ٩. ولا تستعمل ١٢ = ٢ × ٦، لأن العاملين ٢ و٦ يشتركان في العامل ٢، فالعدد ١٨ مثلًا يقبل القسمة على ٢ وعلى ٦ ولا يقبلها على ١٢.

بقي العدد ١١، وقاعدته مختلفة. رقّم منازل العدد بدءًا من الآحاد، ثم اجمع أرقام المنازل الفردية (الأولى والثالثة والخامسة...)، واجمع أرقام المنازل الزوجية (الثانية والرابعة...)، واطرح أحد المجموعين من الآخر. إذا كان الفرق ٠ أو ١١ أو أي مضاعف لـ ١١ فالعدد يقبل القسمة على ١١.

اختصار للأعداد المكوّنة من ثلاثة أرقام: إذا كان الرقم الأوسط يساوي مجموع الرقمين الطرفيين فالعدد يقبل القسمة على ١١. مثال ذلك ٣٨٥، لأن ٣ + ٥ = ٨، و٣٨٥ = ١١ × ٣٥.

نادرًا ما تسأل أسئلة القدرات عن قاعدة واحدة. الغالب أن يجمع السؤال شرطين، ويتوقف الجواب على كلمة واحدة فيه.

«و» أو «معًا»: يجب أن يتحقق الشرطان كلاهما. «أو» أو «واحد على الأقل»: يكفي أن يتحقق شرط واحد. «ولا يقبل»: شرط منفي يجب أن يفشل فيه العدد، فالعدد الذي يحققه يُستبعد.

في الترتيب، ابدأ بأسرع اختبار: رقم الآحاد يستبعد خيارات كثيرة في ثانية، ثم مجموع الأرقام، ثم آخر رقمين أو ثلاثة.

وهذه القواعد كلها في لوحة واحدة، راجعها قبل أن تبدأ التدريب.