التعرف والتحليل

اسم الشكل تحدده خصائصه المعطاة: عدد أضلاعه، وتساويها، وزواياه، وتوازي أضلاعه.

اتجاه الرسم لا يغيّر شيئًا، ولا تعتمد على المظهر إلا إذا كان الرسم على القياس.

عدد الأضلاع يساوي عدد الرؤوس: ٣ مثلث، ٤ رباعي، ٥ خماسي، ٦ سداسي.

يكون المضلع منتظمًا إذا تساوت أضلاعه كلها وتساوت زواياه كلها.

في مسائل الاتجاهات بالمسافة نفسها، الرؤوس هي نقاط الوصول لا نقطة البداية. وإذا تساوت الزوايا بين الاتجاهات المتجاورة فالشكل منتظم.

يُصنَّف المثلث بأضلاعه: متطابق الأضلاع وزواياه كلها ٦٠°، أو متطابق الضلعين، أو مختلف الأضلاع.

ولتصنيفه بزواياه تأكد أولًا أن مجموع الضلعين الأصغرين أكبر من الأطول.

ثم قارن مربع الأطول بمجموع مربعي الآخرين: إن كان أصغر فالمثلث حاد الزوايا، وإن ساواه فهو قائم، وإن زاد عليه فهو منفرج.

متوازي الأضلاع إذا كانت زواياه قائمة فهو مستطيل، وإذا تساوت أضلاعه فهو معيّن، وإذا اجتمع الشرطان فهو مربع.

وإذا طُلب الرسم الذي يحقق عدة شروط، فافحص الرسوم شرطًا بعد شرط، واستبعد الرسم عند أول مخالفة.

قسّم الشكل المركب إلى أجزاء بسيطة بلا تداخل ولا فجوات، فتكون مساحته مجموع مساحاتها. أو أكمله إلى مستطيل واطرح منه الجزء الناقص.

المحيط هو الحد الخارجي وحده، وخط التقسيم الداخلي لا يدخل فيه.

عند العدّ رتّب الأشكال في فئات حسب الحجم: الجزء الواحد، ثم جزءان، وهكذا حتى الشكل كله. ثم اجمع الفئات.

لا تعدّ شكلًا إلا إذا كان مغلقًا وأضلاعه مرسومة فعلًا.

المستطيل يحدده خطان رأسيان وخطان أفقيان، فاضرب اختيارات العرض في اختيارات الارتفاع. والمربعات داخلة في هذا العدّ.

اسم الشكل تحدده خصائصه: عدد أضلاعه، وهل أضلاعه متساوية، وقياسات زواياه، وأي أضلاعه متوازية. أما اتجاه الرسم وموضعه على الصفحة فلا يغيّران شيئًا. لذلك احكم بالمعلومات التي يعطيك إياها السؤال، ولا تعتمد على مظهر الرسم إلا إذا نصّ السؤال على أن الرسم على القياس.

ابدأ بعدد الأضلاع، وهو نفسه عدد الرؤوس: ٣ مثلث، و٤ رباعي، و٥ خماسي، و٦ سداسي. ويكون المضلع منتظمًا إذا تساوت أضلاعه كلها وتساوت زواياه كلها، وإلا فهو غير منتظم.

قد يأتيك الشكل وصفًا لا رسمًا، كأشخاص ينطلقون من نقطة واحدة في اتجاهات مختلفة ويقطعون المسافة نفسها. رؤوس الشكل هي نقاط الوصول، وكلها تقع على دائرة واحدة مركزها نقطة الانطلاق. فإذا تساوت الزوايا بين الاتجاهات المتجاورة كان الشكل منتظمًا، وإذا اختلفت كان غير منتظم.

المثلث أكثر الأشكال ورودًا في الأسئلة، ويُصنَّف بطريقتين: بأضلاعه وبزواياه.

بالأضلاع: يكون متطابق الأضلاع إذا تساوت أضلاعه الثلاثة، ومتطابق الضلعين إذا تساوى ضلعان فقط، ومختلف الأضلاع إذا اختلفت أضلاعه كلها. والأضلاع المتساوية تقابلها زوايا متساوية، فزوايا متطابق الأضلاع كلها ٦٠°.

بالزوايا: يكون حاد الزوايا إذا كانت زواياه الثلاث أصغر من ٩٠°، وقائم الزاوية إذا كانت إحداها ٩٠°، ومنفرج الزاوية إذا كانت إحداها أكبر من ٩٠°. وأكبر زاوية تقابل دائمًا أطول ضلع.

إذا أُعطيت الأطوال فقط فلا تحتاج إلى حساب أي زاوية. تأكد أولًا أن المثلث ممكن، أي أن مجموع الضلعين الأصغرين أكبر من الضلع الأطول. ثم قارن مربع الضلع الأطول بمجموع مربعي الضلعين الآخرين.

الرباعيات يُبنى بعضها على بعض. متوازي الأضلاع كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان. إذا أضفت إليه الزوايا القائمة صار مستطيلًا، وإذا أضفت إليه الأضلاع المتساوية صار معيّنًا، وإذا اجتمع الشرطان صار مربعًا. لذلك المربع مستطيل ومعيّن في الوقت نفسه، أما المستطيل فليس بالضرورة مربعًا.

تُختبر هذه المهارة أيضًا بصورة أخرى: يعطيك السؤال عدة شروط ويطلب منك الرسم الذي يحققها. حوّل كل شرط إلى فحص مستقل، ومرّ على الرسوم شرطًا بعد شرط، واستبعد أي رسم عند أول شرط يخالفه.

بعد أن عرفت كيف تتعرف الشكل البسيط، ننتقل إلى الشكل المركب، وهو أشكال بسيطة ملتصقة بعضها ببعض. تحليله يعني تقسيمه إلى مستطيلات أو مربعات أو مثلثات تعرف قوانينها.

للتقسيم الصحيح شرطان: ألّا تتداخل الأجزاء، وألّا تترك بينها فجوة. عندها تكون مساحة الشكل مجموع مساحات أجزائه. ولك طريق آخر: أن تُكمل الشكل إلى مستطيل كبير ثم تطرح منه الجزء الناقص.

أما المحيط فهو طول الحد الخارجي وحده. الخط الذي رسمته لتقسيم الشكل خط داخلي؛ هو جزء من محيط كل قطعة، لكنه ليس جزءًا من محيط الشكل كله.

العين التي تقسم الشكل إلى أجزاء هي نفسها التي تعدّ الأشكال المختبئة فيه. سرّ العدّ الصحيح هو التنظيم: رتّب الأشكال في فئات حسب حجمها، فابدأ بأصغر الأجزاء، ثم الأشكال المكوّنة من جزأين، ثم من ثلاثة، وهكذا حتى الشكل كله. عدّ كل فئة وحدها ثم اجمع.

في شبكة المربعات تكون الفئات حسب طول الضلع. في شبكة ٣ × ٣ يتحرك المربع الذي ضلعه ٢ في موضعين أفقيًا وموضعين رأسيًا، فله ٢ × ٢ = ٤ مواضع. وكلما زاد الضلع واحدًا نقصت المواضع في كل اتجاه واحدًا، فتظهر الأعداد مربعات متتالية: ٩ ثم ٤ ثم ١.

إذا كانت الشبكة نقاطًا وطُلب عدد المربعات التي رؤوسها من هذه النقاط، فهناك فئة يغفل عنها كثيرون: المربعات المائلة. كل مربع مائل يقع داخل إطار مستقيم، ويلمس كل ضلع من أضلاع الإطار برأس واحد. الإطار الذي ضلعه ٢ يتسع لمربع مائل واحد، والإطار الذي ضلعه ٣ يتسع لمربعين مائلين.

في عدّ المستطيلات لاحظ أن كل مستطيل يتحدد بخطين رأسيين يكونان جانبيه، وخطين أفقيين يكونان أعلاه وأسفله. فعدّ اختيارات العرض وحدها، ثم اختيارات الارتفاع وحدها، واضرب العددين، لأن كل عرض يصلح مع كل ارتفاع. وتذكّر أن المربع مستطيل، فهو داخل في هذا العدّ.

تُعدّ المثلثات بالطريقة نفسها: الأصغر أولًا ثم المركّبة. وقبل أن تعدّ شكلًا مركّبًا تأكد أن أضلاعه الثلاثة مرسومة فعلًا وأنه مغلق.

ومن الأشكال الشائعة مربع رُسم قطراه. أصغر أجزائه ٤ مثلثات تلتقي عند المركز. وكل جزأين متجاورين يكوّنان مثلثًا هو نصف المربع، وعددها ٤، لأن كل قطر يقسم المربع إلى نصفين. أما ثلاثة أجزاء معًا فلا تكوّن مثلثًا، والأجزاء الأربعة تكوّن المربع نفسه. فالمجموع ٨. وإذا تكرر هذا الشكل في الرسم فعدّ مثلثات كل نسخة وحدها ثم اجمع، وتحقق هل يتكوّن مثلث جديد من التقاء النسختين.