الفضاء والحدث البسيط

فضاء العينة هو قائمة كل النواتج الممكنة للتجربة.

الحدث هو جزء من فضاء العينة: النواتج التي تحقق شرط السؤال فقط.

الاحتمال = عدد نواتج الحدث ÷ عدد نواتج فضاء العينة.

يصح هذا القانون فقط إذا كانت النواتج متساوية الإمكان، وكلمة «عادل» في السؤال تعني ذلك.

في كيس فيه ٣ كرات حمراء و٥ زرقاء، النواتج المتساوية هي الكرات الثماني، لا اللونان.

لذلك احتمال سحب كرة حمراء = ٣/٨.

انتبه لألفاظ الحدود: «أكبر من ٥» و«أصغر من ٥» لا تشملان ٥.

أما «لا يقل عن ٥» و«لا يزيد على ٥» فتشملانه.

في التجارب المركّبة ابنِ الفضاء بترتيب ثابت: ثبّت نتيجة الأولى، ومرّ على كل نتائج الثانية، ثم انتقل إلى النتيجة التالية للأولى.

استعمل شجرة أو جدولًا لتنظيم هذا الترتيب.

عدد النواتج = نواتج الأولى × نواتج الثانية.

قطعتا نقود: ٢ × ٢ = ٤، وحجرا نرد: ٦ × ٦ = ٣٦.

المجاميع نفسها ليست متساوية الفرص، فالنواتج المتساوية هي الخانات الـ٣٦ لا المجاميع.

الاحتمال دائمًا بين ٠ (حدث مستحيل) و١ (حدث مؤكّد).

كل سؤال احتمال يبدأ بتجربة، مثل رمي نرد أو سحب كرة من كيس. لكل تجربة نتائج ممكنة تسمّى النواتج، وقائمة النواتج كلها تسمّى فضاء العينة. أول خطوة في أي سؤال أن تسأل نفسك: ما الذي يمكن أن يحدث؟ ثم تكتب كل الإجابات الممكنة.

بعد أن تعرف كل ما يمكن أن يحدث، حدّد ما يطلبه السؤال. الحدث هو جزء من فضاء العينة، أي النواتج التي تحقق شرط السؤال فقط. في سؤال مثل «عدد أكبر من ٢» على النرد، الحدث هو النواتج ٣ و٤ و٥ و٦.

الآن لديك عددان: عدد نواتج الحدث وعدد نواتج الفضاء كله. الاحتمال هو الأول مقسومًا على الثاني: الاحتمال = عدد نواتج الحدث ÷ عدد نواتج فضاء العينة. والمعنى: كم فرصة من بين كل الفرص تحقق ما تريد.

انتبه إلى ألفاظ الحدود لأنها تغيّر العدّ بناتج واحد. «أكبر من ٥» و«أصغر من ٥» لا تشملان ٥. أما «لا يقل عن ٥» (أي ٥ فأكثر) و«لا يزيد على ٥» (أي ٥ فأقل، أو «على الأكثر ٥») فتشملان ٥.

القانون السابق له شرط لا يكتبه السؤال صراحة: أن تكون النواتج التي تعدّها متساوية الإمكان، أي لكل منها الفرصة نفسها. كلمة «عادل» في السؤال تعني أن وجوه النرد أو القطعة لها فرص متساوية. لذلك اسأل قبل العدّ: هل ما أعدّه فعلًا نواتج متساوية الفرص؟

أشهر فخ في هذا الشرط هو الألوان. إذا كان في الكيس كرات بلونين، فهذا لا يعني أن للّونين الفرصة نفسها. الناتج الحقيقي المتساوي هو الكرة الواحدة، لا اللون. والأمر نفسه في مكعب أوجهه ملوّنة: النواتج المتساوية هي الأوجه الستة، لا عدد الألوان.

حتى الآن كان فضاء العينة سهل الكتابة. لكن في التجارب المركّبة، مثل رمي قطعتين أو حجري نرد، يسهل أن تنسى ناتجًا أو تكرّره. الحل أن تبني الفضاء بترتيب ثابت: ثبّت نتيجة الأولى، ثم مرّ على كل نتائج الثانية، ثم انتقل إلى النتيجة التالية للأولى. الشجرة تنظّم لك هذا الترتيب.

الشجرة تكشف قاعدة للعدّ السريع: عدد نواتج التجربة المركّبة = عدد نواتج الأولى × عدد نواتج الثانية. قطعتا نقود: ٢ × ٢ = ٤. قطعة نقود ونرد: ٢ × ٦ = ١٢. حجرا نرد: ٦ × ٦ = ٣٦. ومع ٣٦ ناتجًا تصبح الشجرة طويلة، فالجدول أنسب.

لاحظ في الجدول أن المجاميع ليست متساوية الفرص. المجموع ٧ يظهر في ٦ خانات، والمجموع ٢ في خانة واحدة. لذلك لا تكتب الفضاء على شكل {٢، ٣، …، ١٢} وتقسم على ١١. هذا هو فخ الألوان نفسه: النواتج المتساوية هي الخانات الـ٣٦، لا المجاميع.

بقي أن تعرف أين يقع أي احتمال تحسبه. عدد نواتج الحدث لا يمكن أن يقل عن صفر ولا أن يزيد على عدد نواتج الفضاء، لذلك يقع الاحتمال دائمًا بين ٠ و١. الاحتمال ٠ يعني حدثًا مستحيلًا، والاحتمال ١ يعني حدثًا مؤكّدًا. إن حصلت على كسر أكبر من ١ أو على عدد سالب، فقد أخطأت في العدّ.