التغير والعكس

النسبة تُحسب دائمًا من القيمة التي قبل التغير مباشرة، أي من الأصل.

عامل التغير هو ما يصير إليه الأصل من ١٠٠٪: ١ + ن للزيادة، و١ − ن للنقص.

زيادة ٢٠٪ تعني الضرب في ١٫٢، وخصم ٢٥٪ يعني الضرب في ٠٫٧٥.

للحساب الذهني ابدأ بـ١٠٪، وهي قسمة العدد على ١٠، ثم ابنِ عليها.

للأمام: الجديد = الأصل × العامل.

للخلف: الأصل = الجديد ÷ العامل، ولا تطرح النسبة من الجديد.

نسبة التغير = مقدار التغير ÷ الأصل × ١٠٠٪.

في الربح يكون الأصل سعر الشراء.

طبّق النسبة على الجزء الذي تغيّر وحده، لا على المجموع.

في التغيرات المتتابعة اضرب العوامل ولا تجمع النسب، لأن الأساس يتغير بعد كل خطوة.

الزيادة ثم النقص بالنسبة نفسها تنتهي بنقص، لا بتعادل.

ولإلغاء تغير احسب النسبة من القيمة الجديدة.

إن مرّت القيمة بعدة خطوات فابدأ من النهاية واعكس كل خطوة.

وإن لم يذكر السؤال قيمة فافترض قيمة مريحة مثل ١٠ أو ١٠٠.

التغير المئوي معناه أن قيمة زادت أو نقصت بجزء منها. هذا الجزء يُقاس دائمًا من القيمة قبل التغير، ونسمّيها الأصل. فعبارة «زاد السعر ٢٠٪» تعني أنه زاد ٢٠ عن كل ١٠٠ من السعر الأصلي.

لحساب القيمة الجديدة طريقان. الطريق الأول: احسب مقدار التغير، وهو النسبة × الأصل، ثم أضفه إلى الأصل في الزيادة، أو اطرحه منه في النقص.

الطريق الثاني أسرع، وهو أن تفكّر فيما تصير إليه القيمة. الأصل كله ١٠٠٪. الزيادة ٢٠٪ تجعله ١٢٠٪، أي تضربه في ١٫٢. والخصم ٢٥٪ يترك منه ٧٥٪، أي تضربه في ٠٫٧٥. هذا العدد اسمه عامل التغير، وهو ١ + ن للزيادة و١ − ن للنقص، حيث ن النسبة مكتوبة عددًا عشريًا.

لتحسب النسبة ذهنيًا ابدأ بـ١٠٪، وهي قسمة العدد على ١٠، ثم ابنِ عليها: ٥٪ نصفها، و٢٠٪ ضعفها، و٣٠٪ ثلاثة أمثالها. واحفظ أن ٥٠٪ نصف العدد و٢٥٪ ربعه.

انتبه إلى الكمية التي تُطبَّق عليها النسبة. إذا قيل إن جزءًا من المجموع زاد بنسبة ما، فالنسبة تُحسب من ذلك الجزء وحده، لا من المجموع كله.

عرفت الآن كيف تنتقل من الأصل والنسبة إلى القيمة الجديدة. وقد يأتي السؤال معكوسًا، فيعطيك القيمة قبل التغير وبعده ويسألك عن النسبة.

اطرح القيمتين لتعرف مقدار التغير، ثم اقسمه على الأصل، أي على القيمة قبل التغير: نسبة التغير = مقدار التغير ÷ الأصل × ١٠٠٪.

القسمة على الأصل هي جوهر المسألة. لاحظ في الرسم أن الفرق نفسه، وهو ١٥، يعطي نسبتين مختلفتين لأن الأصل مختلف في الحالتين.

في الربح والخسارة يكون الأصل هو التكلفة، فنسبة الربح = الربح ÷ سعر الشراء × ١٠٠٪، وليست الربح ÷ سعر البيع.

قد لا يذكر السؤال أي قيمة، كأن يقول «زاد طول الضلع ٥٠٪». عندها افترض أنت قيمة مريحة مثل ١٠ أو ١٠٠، فالنسبة لا تتأثر بالقيمة التي تفترضها.

بقي الاتجاه المعاكس تمامًا: تعرف القيمة بعد التغير وتعرف النسبة، وتريد الأصل. وهنا يفيدك عامل التغير أكثر من أي طريقة أخرى.

بما أن الجديد = الأصل × العامل، فإن الأصل = الجديد ÷ العامل. الضرب في العامل يأخذك إلى الأمام، والقسمة عليه تعيدك إلى الخلف.

لا تطرح النسبة من القيمة الجديدة لترجع. الـ٢٥٪ محسوبة من الأصل، والقيمة الجديدة أكبر من الأصل، فطرح ٢٥٪ منها يطرح أكثر من اللازم.

ولك طريقة أخرى هي التفكير بالأجزاء: القيمة الجديدة تمثّل نسبة معروفة من الأصل، فاحسب كم يساوي ١٪ ثم اضرب في ١٠٠.

إذا مرّت القيمة بعدة خطوات، فابدأ من النهاية وافكّ كل خطوة بعكسها بالترتيب المعاكس: الطرح يُعكس بالجمع، والخصم المئوي يُعكس بالقسمة على عامله.

وإذا طُبّقت نسب مختلفة على أجزاء مختلفة ترجع إلى الأصل نفسه، فسمِّ الأصل س، واكتب كل جزء بعامله، ثم اجمع الأجزاء وحلّ المعادلة.

كان التغير في كل ما سبق تغيرًا واحدًا. فماذا لو جاء تغير بعد تغير؟ القاعدة لا تتغير: كل نسبة تُحسب من القيمة التي قبلها مباشرة. لكن القيمة تتغير بعد كل خطوة، فيتغير الأساس معها.

لهذا لا تجمع النسب، بل اضرب العوامل. زيادة ٢٠٪ ثم خصم ٢٠٪ تعني الضرب في ١٫٢ ثم في ٠٫٨.

١٫٢ × ٠٫٨ = ٠٫٩٦، أي أن النتيجة ٩٦٪ من البداية، وهذا نقص قدره ٤٪ أيًّا كانت القيمة الأولى. والأمر كذلك دائمًا: الزيادة ثم النقص بالنسبة نفسها، أو النقص ثم الزيادة بها، ينتهيان بنقص لا بتعادل.

والزيادة السنوية بنسبة ثابتة تتراكم، لأن زيادة كل سنة تُحسب من راتب السنة السابقة، فتكبر الزيادة سنة بعد سنة. أما الزيادة بمبلغ ثابت فتبقى كما هي.

ومن التغيرات المتتابعة سؤال شائع: بأي نسبة تعيد القيمة إلى أصلها بعد تغير؟ الأساس في الخطوة الثانية هو القيمة الجديدة، فلا تتوقع النسبة نفسها.