الأقواس والقطاعات والزوايا

الزاوية المركزية رأسها المركز، وهي تحدّد الكسر الذي يمثّله الجزء من الدائرة: الكسر = الزاوية ÷ ٣٦٠.

طول القوس = الكسر × ٢ط نق.

مساحة القطاع = الكسر × ط نق².

محيط القطاع = القوس + نق + نق.

القطعة الدائرية، وهي المنطقة بين القوس ووتره، = القطاع − المثلث.

وبالعكس: طول القوس ÷ المحيط = الكسر، والكسر × ٣٦٠ = الزاوية.

إذا لم تُعطَ زاوية القطاع فاستنتجها من الشكل: الزوايا حول المركز مجموعها ٣٦٠°، والمتقابلتان بالرأس متساويتان.

قياس القوس بالدرجات يساوي زاويته المركزية، أما طوله فبوحدات الطول.

الزاوية المحيطية رأسها على الدائرة، وتساوي نصف المركزية المرسومة على القوس نفسه. فضاعفها قبل أن تحسب القطاع.

الزوايا المحيطية المرسومة على القوس نفسه متساوية، والمحيطية المرسومة على قطر ٩٠°.

في الشكل الرباعي الذي رؤوسه على الدائرة، مجموع كل زاويتين متقابلتين ١٨٠°.

الأوتار المتساوية تقابل أقواسًا متساوية، فالمربع المرسوم داخل دائرة يقسمها إلى ٤ أقواس، قياس كل منها ٩٠°.

المثلث الذي رأسه المركز ضلعاه نصفا قطر، فزاويتا قاعدته متساويتان.

المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس.

المماسان المرسومان من نقطة خارج الدائرة متساويان، والزاوية بينهما مع الزاوية المركزية مجموعهما ١٨٠°.

الزاوية بين المماس والوتر تساوي الزاوية المحيطية المرسومة على الوتر نفسه من الجهة الأخرى، ولا تُضاعف.

يبدأ هذا الدرس كله من مركز الدائرة م. ارسم من المركز نصفي قطر إلى نقطتين أ و ب على الدائرة، فتتكوّن بينهما زاوية رأسها المركز، وهذه هي الزاوية المركزية.

الجزء المنحني من الدائرة بين أ و ب هو القوس أ ب. والقطعة المستقيمة التي تصل أ و ب مباشرة هي الوتر أ ب. والمنطقة المحصورة بين نصفي القطر والقوس هي القطاع، وتشبه قطعة من كعكة مستديرة.

انتبه إلى الفرق بين القوس والوتر. القوس منحنٍ، فهو دائمًا أطول من الوتر الذي يصل طرفيه، وحسابهما مختلف تمامًا. اقرأ السؤال لتعرف أيهما يطلب.

عرفت الآن أجزاء الدائرة. ويقوم كل حساب عليها على فكرة واحدة: الدورة الكاملة حول المركز ٣٦٠°، فالزاوية المركزية تخبرك بالكسر الذي يمثّله الجزء من الدائرة كلها. الكسر = الزاوية المركزية ÷ ٣٦٠.

تتكرر هذه الكسور كثيرًا، فاحفظها: ١٨٠° نصف، ١٢٠° ثلث، ٩٠° ربع، ٧٢° خمس، ٦٠° سدس، ٤٥° ثمن، ٣٠° جزء من ١٢.

إذا عرفت الكسر، فطول القوس هو هذا الكسر من محيط الدائرة، لأن القوس قطعة من المحيط. وبما أن المحيط = ٢ × ط × نق، فإن طول القوس = (الزاوية ÷ ٣٦٠) × ٢ ط نق.

قد يعطيك السؤال المحيط عددًا عاديًا بلا ط، فتضرب الكسر فيه مباشرة دون أن تحسب نصف القطر.

ويمكنك أن تسير في الطريق نفسه بالعكس. إذا عرفت طول القوس ونصف القطر، فاقسم طول القوس على المحيط لتعرف الكسر، ثم اضرب الكسر في ٣٦٠° لتحصل على الزاوية.

فرّق بين أمرين يختلط أحدهما بالآخر. قياس القوس يُقاس بالدرجات ويساوي زاويته المركزية، فنقول مثلًا «قوس قياسه ٤٠°». أما طول القوس فيُقاس بوحدات الطول كالسنتيمتر. فإذا سألك السؤال عن قياس القوس، فالجواب بالدرجات.

القطاع يُحسب بالفكرة نفسها، والفرق أنك تأخذ الكسر من مساحة الدائرة لا من محيطها. مساحة القطاع = (الزاوية ÷ ٣٦٠) × ط نق².

أما محيط القطاع فهو طول حدوده كلها: القوس، ونصفا القطر على جانبيه. وكثير من الطلاب يحسبون القوس وحده وينسون الضلعين المستقيمين.

في كثير من الأسئلة لا تُعطى زاوية القطاع مباشرة، بل تستنتجها من الشكل بحقيقتين. الأولى: الزوايا حول المركز مجموعها ٣٦٠°. والثانية: إذا تقاطع قطران، فكل زاويتين متقابلتين بالرأس متساويتان.

ومن الأشكال الشائعة في الاختبار المنطقة المحصورة بين قوس ووتره، وتسمى القطعة الدائرية. ليس لها قانون خاص تحفظه: هي القطاع بعد أن تحذف منه المثلث الذي يكوّنه نصفا القطر مع الوتر.

إذا رأيت داخل مربع شكلًا يشبه ورقة الشجر أو العدسة، فهو غالبًا قطعتان دائريتان متطابقتان تلتقيان عند وتر مشترك. ارسم هذا الوتر، وهو هنا قطر المربع، فتظهر لك القطعتان.

إذا تكررت الورقة في الشكل، فاحسب ورقة واحدة ثم اضرب في عددها. وقبل أي حساب حدّد مركز كل قوس، لأن نصف القطر قد يكون نصف ضلع المربع لا الضلع كله.

كان رأس الزاوية حتى الآن في المركز. ننقل الرأس الآن إلى نقطة على الدائرة نفسها: الزاوية التي رأسها على الدائرة وضلعاها وتران تسمى الزاوية المحيطية.

القاعدة الأساسية: الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية المرسومة على القوس نفسه. وبما أن قياس القوس يساوي زاويته المركزية، فالزاوية المحيطية تساوي نصف قياس القوس المقابل لها.

ويترتب على ذلك أنك لا تستعمل الزاوية المحيطية مباشرة في كسر القطاع. القطاع يُحسب بالزاوية المركزية، فضاعف الزاوية المحيطية أولًا ثم اقسم على ٣٦٠.

تخرج من هذه القاعدة نتائج توفّر عليك كثيرًا من الحساب. أولاها: الزوايا المحيطية المرسومة على القوس نفسه كلها متساوية، لأن كل واحدة منها نصف الزاوية المركزية نفسها.

النتيجة الثانية: الزاوية المحيطية المرسومة على قطر قائمة، أي ٩٠°. السبب أن القطر يقابل نصف دائرة، وزاويته المركزية ١٨٠°، ونصفها ٩٠°.

النتيجة الثالثة: إذا وقعت رؤوس شكل رباعي الأربعة على الدائرة، فكل زاويتين متقابلتين فيه مجموعهما ١٨٠°. السبب أن الزاويتين تقابلان قوسين يكمّل أحدهما الآخر إلى ٣٦٠°، وكل زاوية نصف قوسها، فمجموعهما نصف ٣٦٠°، أي ١٨٠°.

النتيجة الرابعة: الأوتار المتساوية تقابل أقواسًا متساوية. فإذا رُسم مضلع منتظم داخل دائرة، قسّمها إلى أقواس متساوية عددها عدد أضلاعه.

وتبقى حقيقة أخيرة تحتاجها في أصعب الأسئلة. المثلث الذي رأسه المركز وضلعاه نصفا قطر متطابق الضلعين، فزاويتا قاعدته متساويتان. إذا عرفت إحداهما عرفت الزاوية المركزية، ومنها تعرف الزاوية المحيطية.

وإذا كانت الزاوية المطلوبة حول المركز لكنها خارج المثلث، فاطرح ما تعرفه من ٣٦٠° لا من ١٨٠°.

بقي مستقيم من نوع آخر: المستقيم الذي يلمس الدائرة في نقطة واحدة فقط، ويسمى المماس، وتسمى هذه النقطة نقطة التماس. وأهم ما تعرفه عنه أنه عمودي على نصف القطر المرسوم إلى نقطة التماس. فكلما رأيت مماسًا ونصف قطر يلتقيان، فبينهما زاوية قائمة ٩٠°.

إذا رُسم مماسان من نقطة خارج الدائرة، فطولاهما متساويان. ويتكوّن منهما ومن نصفي القطر شكل رباعي فيه زاويتان قائمتان. ومجموع زوايا الرباعي ٣٦٠°، فيبقى للزاوية عند النقطة الخارجية وللزاوية المركزية معًا ١٨٠°.

ولأن المماسين متساويان، فالمثلث أ ل ب متطابق الضلعين. كل زاوية من زاويتي قاعدته = (١٨٠° − زاوية الرأس) ÷ ٢، وهذا يساوي ٩٠° ناقص نصف زاوية الرأس. وتفيدك هذه الحقيقة في أسئلة الدائرة المرسومة داخل مثلث، لأن من كل رأس في المثلث يخرج مماسان متساويان إلى الدائرة.

لاحظ أن ٦٥° هي نصف قياس القوس أ ب، وهو ١٣٠°. ليس هذا مصادفة، بل هو الحقيقة الأخيرة في الدرس.

الزاوية المحصورة بين مماس ووتر عند نقطة التماس تساوي نصف قياس القوس الواقع داخلها. ولهذا تساوي أي زاوية محيطية مرسومة على الوتر نفسه من الجهة الأخرى. ولا مضاعفة هنا، لأن كلتا الزاويتين نصف القوس نفسه، فهما متساويتان.

كيف تحدّد الزاوية المحيطية الصحيحة؟ ابحث عن الزاوية التي رأسها على الدائرة وضلعاها يمرّان بطرفي الوتر نفسه. لا تختر الزاوية الأقرب إلى المماس في الرسم لمجرد قربها.