الزوجية وقابلية القسمة

العدد الزوجي يقبل القسمة على ٢ دون باقٍ، ورقم آحاده يكفي لتعرفه: ٠ أو ٢ أو ٤ أو ٦ أو ٨.

الصفر زوجي، والسالب يوصف بالزوجية أيضًا: −٤ زوجي و−٣ فردي.

الكسر مثل ٢٫٥ ليس زوجيًا ولا فرديًا.

الزوجي يُكتب ٢ن، والفردي ٢ن + ١، حيث ن عدد صحيح.

الزوجية تضمن القسمة على ٢ فقط، فالعدد ١٠ زوجي ولا يقبل القسمة على ٤.

في الجمع والطرح: المتشابهان في الزوجية يعطيان زوجيًا، والمختلفان يعطيان فرديًا.

إذا جمعت عدة أعداد فعُدّ الفرديات فقط: إن كان عددها زوجيًا فالمجموع زوجي، وإلا فهو فردي.

في الضرب: عامل زوجي واحد يكفي ليكون الناتج زوجيًا.

القوة لها زوجية أساسها، فمكعب الفردي فردي.

القسمة لا قاعدة لها: ١٢ ÷ ٢ = ٦ زوجي، و١٠ ÷ ٢ = ٥ فردي.

إذا كان في العبارة متغير، فحدّد زوجية كل حدّ وحده، ثم اجمع الحدود.

«يجب» تعني أن الشرط يتحقق مع كل الأعداد، فلا تحكم بتجربة عدد واحد.

التجربة تنفع في استبعاد الخيارات الخاطئة، فإن جرّبت فجرّب قيمتين على الأقل.

العددان المتتاليان أحدهما زوجي والآخر فردي، فمجموعهما فردي وحاصل ضربهما زوجي.

لذلك العبارة ن × (ن + ١) زوجية دائمًا.

في مسائل التقابل: الأشخاص على جانبي شخص بأعداد متساوية أزواج، فعددهم زوجي.

وبإضافة الشخص الذي في المنتصف يصير العدد الكلي فرديًا.

العدد الزوجي هو العدد الصحيح الذي يقبل القسمة على ٢ دون باقٍ. تخيّل أنك توزّع أشياء أزواجًا أزواجًا: إن لم يبقَ شيء فالعدد زوجي، وإن بقي واحد فالعدد فردي.

لن تحتاج إلى تقسيم العدد لتعرف زوجيته، فرقم الآحاد وحده يكفي. إذا كان رقم الآحاد ٠ أو ٢ أو ٤ أو ٦ أو ٨ فالعدد زوجي، وإذا كان ١ أو ٣ أو ٥ أو ٧ أو ٩ فهو فردي، مهما كان طول العدد.

الصفر عدد زوجي، لأن ٠ ÷ ٢ = ٠ دون باقٍ. والأعداد السالبة توصف أيضًا بالزوجية: −٤ زوجي و−٣ فردي. وعلى خط الأعداد يتناوب الزوجي والفردي دائمًا، فكل عدد صحيح يليه عدد من النوع الآخر.

الزوجية صفة للأعداد الصحيحة وحدها. العدد ٢٫٥ ليس زوجيًا ولا فرديًا، فإن ظهر ناتج كسري بين الخيارات فلا تصفه بأي منهما.

ويمكنك أن تكتب أي عدد زوجي على الصورة ٢ن، وأي عدد فردي على الصورة ٢ن + ١، حيث ن عدد صحيح. معنى ذلك أن ٢ مضروبًا في أي عدد صحيح يعطي زوجيًا دائمًا، وأن إضافة ١ إليه تعطي فرديًا دائمًا.

والزوجية تضمن القسمة على ٢ فقط. العدد ١٠ مثلًا زوجي، لكنه لا يقبل القسمة على ٤ ولا على ٦.

بعد أن عرفت العدد الزوجي والفردي، ننتقل إلى السؤال الذي تطرحه أسئلة القدرات: إذا جمعنا عددين أو ضربناهما، فهل الناتج زوجي أم فردي؟ فكرة الأزواج نفسها تجيب عن ذلك. نبدأ بالجمع.

حين تجمع زوجيين تضع أزواجًا بجانب أزواج، فلا يبقى شيء والناتج زوجي. وحين تجمع فرديين يبقى من كل منهما واحد، والواحدان معًا يكوّنان زوجًا جديدًا، فالناتج زوجي. أما حين تجمع زوجيًا مع فردي فيبقى الواحد وحده، والناتج فردي.

والطرح يتبع قواعد الجمع نفسها. اختصرها هكذا: العددان المتشابهان في الزوجية يعطيان زوجيًا، والمختلفان يعطيان فرديًا.

إذا جمعت أكثر من عددين فلا تهتم بالزوجية إلا في الأعداد الفردية، فالزوجية لا تغيّر شيئًا. عُدّ الأعداد الفردية: كل فرديين يلغي أحدهما باقي الآخر. فإن كان عدد الفرديات زوجيًا كان المجموع زوجيًا، وإن كان فرديًا كان المجموع فرديًا.

عرفت الجمع والطرح، والضرب أسهل منهما. الضرب تكرار جمع: ٤ × ٣ هو ثلاث مجموعات في كل منها ٤، وكل مجموعة أزواج كاملة. لذلك يكفي أن يكون في الضرب عامل زوجي واحد ليصير الناتج زوجيًا. ولا يكون الناتج فرديًا إلا إذا كانت كل العوامل فردية.

والقوة ضرب متكرر للعدد في نفسه، فالعدد س² أو س³ له زوجية س نفسها: مربع الزوجي زوجي، ومكعب الفردي فردي.

أما القسمة فليست لها قاعدة زوجية. ١٢ ÷ ٢ = ٦ زوجي، و١٠ ÷ ٢ = ٥ فردي، و٧ ÷ ٢ = ٣٫٥ ليس عددًا صحيحًا أصلًا. فإذا رأيت قسمة في خيار يُسأل عمّا «يجب» أن يكون زوجيًا أو فرديًا، فاعلم أنها في الغالب لا تحقّق الشرط دائمًا.

بهذه القواعد تستطيع حل النوع الأشهر في الاختبار: عبارة فيها متغير زوجيته معلومة. لا تحسب شيئًا، بل حدّد زوجية كل حدّ وحده، ثم اجمع الحدود بقاعدة الجمع. مثلًا ٤س زوجي مهما كان س لأن فيه العامل ٤، و٣س له زوجية س نفسها لأن ٣ فردي.

انتبه إلى الفرق بين «يجب» و«يمكن». «يجب» تعني أن الشرط يتحقّق مع كل الأعداد، فتجربة عدد واحد لا تثبته، لكنها تنفع في استبعاد الخيارات الخاطئة. فإن جرّبت بدلًا من القاعدة، فجرّب قيمتين مختلفتين على الأقل.

ومن نتائج التناوب على خط الأعداد أن كل عددين صحيحين متتاليين يكون أحدهما زوجيًا والآخر فرديًا. لذلك يكون مجموعهما فرديًا دائمًا، وحاصل ضربهما زوجيًا دائمًا. فالعبارة ن × (ن + ١) زوجية مهما كان ن.

تبقى المسائل الكلامية، وتعتمد على فكرة الأزواج التي بدأنا بها. إذا كانت الأشياء في المسألة تتقابل واحدًا بواحد، كأشخاص على جانبي شخص معيّن بأعداد متساوية، فهي أزواج، وعددها زوجي. فإذا أضفت الشخص الذي في المنتصف صار العدد الكلي فرديًا.