العلاقات الأساسية

الحادة أقل من ٩٠°، والقائمة ٩٠°، والمنفرجة بين ٩٠° و١٨٠°.

المستقيمة ١٨٠°، والمنعكسة أكبر من ١٨٠°.

الزوايا المتجاورة على مستقيم مجموعها ١٨٠°، بشرط أن يكون ضلعاها الخارجيان خطًا واحدًا.

الزوايا حول نقطة مجموعها ٣٦٠°.

المتقابلتان بالرأس متساويتان.

المتتامتان مجموعهما ٩٠°، والمتكاملتان مجموعهما ١٨٠°.

الرسم ليس بمقياس، فاعتمد على الأعداد والعلامات المكتوبة فقط.

في الساعة: بين كل رقمين ٣٠°.

عقرب الدقائق يتحرك ٦° كل دقيقة، وعقرب الساعات يتحرك ٠٫٥° كل دقيقة.

الزاوية بينهما = |٣٠ × الساعة − ٥٫٥ × الدقائق|.

إذا زاد الناتج على ١٨٠° فاطرحه من ٣٦٠° لتحصل على الزاوية الصغرى.

يكون المستقيمان متعامدين إذا كانت إحدى زوايا تقاطعهما ٩٠°.

ويكونان متعامدين أيضًا إذا وجدت زاويتين متجاورتين على مستقيم متساويتين، لأن كلًّا منهما ٩٠°.

إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين، فالزوايا الحادة كلها متساوية، والمنفرجة كلها متساوية، ومجموع الحادة والمنفرجة ١٨٠°.

العكس صحيح أيضًا: تحقّق شرط واحد من الثلاثة يثبت أن المستقيمين متوازيان.

لا تستعمل هذه العلاقات إلا إذا ثبت التوازي بعلامة الأسهم أو بنص السؤال.

المستقيمان العموديان على مستقيم واحد متوازيان.

والمستقيم العمودي على أحد مستقيمين متوازيين عمودي على الآخر.

الزاوية هي مقدار الدوران بين ضلعين يلتقيان في رأس واحد، وتُقاس بالدرجات. الدورة الكاملة ٣٦٠°، ونصفها ١٨٠°، وربعها ٩٠°. تقوم كل علاقات هذا الدرس على هذه الأعداد الثلاثة.

تُسمّى الزاوية بحسب قياسها. الحادة أقل من ٩٠°، والقائمة ٩٠° تمامًا، والمنفرجة بين ٩٠° و١٨٠°. والمستقيمة ١٨٠° ويكوّن ضلعاها خطًا مستقيمًا، والمنعكسة أكبر من ١٨٠°.

رسوم أسئلة القدرات ليست بمقياس رسم دقيق، فلا تحكم على زاوية من شكلها ولا تقِسها بعينك. اعتمد على المعطيات وحدها: الأعداد المكتوبة، ومربع الزاوية القائمة، وكلمة «مستقيم»، وعلامات التوازي.

بعد أن عرفت الزاوية الواحدة، ننتقل إلى العلاقات بين الزوايا. وأكثر علاقة ستقابلها في الأسئلة هي علاقة الزوايا التي تقع معًا على خط مستقيم.

تكون الزاويتان متجاورتين على مستقيم إذا اشتركتا في الرأس وفي ضلع، وكان ضلعاهما الآخران خطًا مستقيمًا واحدًا. عندئذ تكوّنان معًا زاوية مستقيمة، فمجموعهما ١٨٠°.

تصلح القاعدة نفسها لثلاث زوايا متجاورة على المستقيم أو أكثر، فمجموعها كلها ١٨٠°. اجمع الزوايا المعلومة، واطرح الناتج من ١٨٠°.

قد تُعطى الزوايا بدلالة س. اكتب معادلة المجموع وحلّها، ثم ارجع إلى السؤال لتعرف المطلوب: هل هو س نفسها، أم زاوية من الشكل، أم مضاعف لـ س؟

انتبه إلى شرط المستقيم. التجاور وحده لا يجعل المجموع ١٨٠°. إذا لم يكن الضلعان الخارجيان على خط واحد، فالمجموع أي عدد آخر.

لهذه العلاقة ولعلاقة قريبة منها اسمان يتكرّران في الأسئلة. الزاويتان اللتان مجموعهما ١٨٠° متكاملتان، وكل منهما مكمّلة الأخرى. والزاويتان اللتان مجموعهما ٩٠° متتامتان، وكل منهما متمّمة الأخرى. للتذكّر: المتتامتان تُتمّان الزاوية القائمة، والمتكاملتان تُكملان الخط المستقيم. ولا يُشترط في الحالتين أن تكون الزاويتان متجاورتين.

المستقيم نصف دورة. فإذا أحاطت الزوايا بنقطة من كل الجهات كوّنت دورة كاملة، ولذلك مجموع الزوايا حول نقطة ٣٦٠°.

حين يتقاطع مستقيمان تتكوّن أربع زوايا حول نقطة التقاطع. كل زاويتين متقابلتين لا يجمعهما ضلع مشترك تُسمّيان متقابلتين بالرأس، وهما متساويتان دائمًا.

السبب يأتي من القاعدة السابقة. الزاوية العليا تكمل الزاوية اليمنى إلى ١٨٠°، والسفلى تكملها إلى ١٨٠° أيضًا، فالعليا والسفلى متساويتان. لذلك تكفيك زاوية واحدة لتعرف الأربع: زاويتان بقياسها نفسه، وزاويتان قياس كل منهما ١٨٠° ناقص قياسها.

الساعة تطبيق مباشر على الدورة الكاملة. وجه الساعة ٣٦٠° مقسّمة على ١٢ رقمًا، فبين كل رقمين متتاليين ٣٦٠ ÷ ١٢ = ٣٠°.

عقرب الدقائق يكمل الدورة في ٦٠ دقيقة، فيتحرك ٣٦٠ ÷ ٦٠ = ٦° كل دقيقة. وعقرب الساعات ينتقل من رقم إلى الرقم التالي، أي ٣٠°، في ٦٠ دقيقة، فيتحرك ٠٫٥° كل دقيقة. لهذا لا يقف عقرب الساعات على الرقم تمامًا إلا عند رأس الساعة.

لتحسب الزاوية بين العقربين، قِس موضع كل عقرب من الرقم ١٢ في اتجاه دوران الساعة، ثم اطرح الموضعين. موضع عقرب الساعات = الساعة × ٣٠ + الدقائق × ٠٫٥، وموضع عقرب الدقائق = الدقائق × ٦. ويمكنك جمع الخطوتين في خطوة واحدة: الفرق = |٣٠ × الساعة − ٥٫٥ × الدقائق|.

إذا خرج الفرق أكبر من ١٨٠° فهو الزاوية الكبرى. والمطلوب في الغالب الزاوية الصغرى، فاطرح الفرق من ٣٦٠°.

بقيت علاقتان بين المستقيمين نفسيهما: التعامد والتوازي. كلتاهما تُستنتج من الزوايا بالقواعد التي تعلّمتها.

المستقيمان المتعامدان يتقاطعان بزاوية ٩٠°. ويكفي أن تكون زاوية واحدة من الزوايا الأربع قائمة لتكون الأربع كلها قائمة. فالمقابلة لها بالرأس ٩٠°، وكل مجاورة لها ١٨٠ − ٩٠ = ٩٠°.

لذلك تستنتج التعامد بإحدى طريقتين. الأولى أن تثبت أن إحدى زوايا التقاطع ٩٠°. والثانية أن تجد زاويتين متجاورتين على مستقيم متساويتين، لأن كل واحدة منهما عندئذ ١٨٠ ÷ ٢ = ٩٠°.

المستقيمان المتوازيان لا يلتقيان مهما امتدّا، ويُشار إليهما في الرسم بسهمين صغيرين متشابهين. إذا قطعهما مستقيم ثالث يُسمّى القاطع، تكوّنت أربع زوايا عند كل نقطة تقاطع. والتقاطعان نسخة واحدة، لأن القاطع يميل على المستقيمين بالميل نفسه.

النتيجة العملية من هذا الشكل: كل زاوية حادة فيه تساوي أي حادة أخرى، وكل منفرجة تساوي أي منفرجة أخرى، ومجموع الحادة والمنفرجة ١٨٠°. فإذا عرفت زاوية واحدة عرفت الزوايا الثماني كلها.

الأسئلة تذكر أزواج هذه الزوايا بأسمائها، وهي ثلاثة أزواج عليك أن تميّزها:

تعمل هذه العلاقات في الاتجاه المعاكس أيضًا، وبه تستنتج التوازي. إذا قطع قاطع مستقيمين، وتحقّق أحد هذه الشروط، فالمستقيمان متوازيان: زاويتان متناظرتان متساويتان، أو زاويتان متبادلتان داخليًا متساويتان، أو زاويتان داخليتان على جهة واحدة مجموعهما ١٨٠°. ويكفي تحقّق شرط واحد منها.

في المقابل، لا تستعمل تساوي المتناظرتين أو المتبادلتين إلا إذا ثبت أن المستقيمين متوازيان، بعلامة الأسهم أو بنص السؤال. فإذا لم يُذكر التوازي، فقد تكون الزاويتان مختلفتين.

ومن الحالات الشائعة: المستقيمان العموديان على مستقيم ثالث متوازيان، لأن الزاويتين المتناظرتين عندئذ ٩٠° و٩٠°. والعكس صحيح أيضًا: المستقيم العمودي على أحد مستقيمين متوازيين عمودي على الآخر.