المتتابعات الهندسية
عن هذا الدرس
في المتتابعة الهندسية نضرب كل حد في عدد ثابت اسمه «النسبة» لنحصل على الحد الذي يليه.
في المتتابعة الهندسية تضرب كل حد في عدد ثابت فتحصل على الحد التالي. هذا العدد الثابت اسمه «النسبة»، ورمزه ر.
لتجد النسبة اقسم أي حد على الحد الذي قبله، ثم تحقّق منها بزوج آخر من الحدود.
إن ثبت الناتج فالمتتابعة هندسية.
مثلًا
المتتابعة: ٥، ١٥، ٤٥، ١٣٥، ...
النسبة: ١٥ ÷ ٥ = ٣، والتحقق: ٤٥ ÷ ١٥ = ٣
الحد التالي: ١٣٥ × ٣ = ٤٠٥
لا تحكم على النسبة من شكل الحدود، واعتمد على القسمة دائمًا.
مثلًا
نسبة كسرية: في ٨١، ٢٧، ٩ النسبة ١/٣، أي أنك تقسم على ٣.
نسبة سالبة: في ٤، −١٢، ٣٦ النسبة −٣، فتتبدّل الإشارة مع كل حد.
أما في −٥، −١٥، −٤٥ فالنسبة ٣.
حدود كسرية: في ٥/٢، ١٥/٨، ٤٥/٣٢ يُضرب البسط في ٣ والمقام في ٤، فالحد التالي ١٣٥/١٢٨.
لتجد الحد رقم ن اضرب الحد الأول في النسبة (ن − ١) مرة، لأن الحد الأول لا يُضرب.
مثلًا
في ٢، ٦، ١٨، ... الحد السابع = ٢ × ٣⁶ = ٢ × ٧٢٩ = ١٤٥٨
في ٥، ٠٫٥، ٠٫٠٥، ... تقسم على ١٠ ست مرات، فالحد السابع ٠٫٠٠٠٠٠٥
الصفر الذي قبل الفاصلة لا يُعدّ منزلة عشرية.
لتجد الحد السابق اقسم على النسبة. في ؟، ٢٠، ٤٠ النسبة ٢، فالحد الذي قبل ٢٠ هو ١٠.
في مسائل المجموع ولّد الحدود بالضرب ثم اجمعها كلها.
مثلًا
ادّخر طالب ٢٠ ريالًا في الأسبوع الأول، وفي كل أسبوع ثلاثة أضعاف ما قبله. ما مجموع ما ادّخره في ٤ أسابيع؟
٢٠ + ٦٠ + ١٨٠ + ٥٤٠ = ٨٠٠ ريال
وإذا كانت النسبة ٢: المجموع = ٢ × الحد الأخير − الحد الأول
١٥ + ٣٠ + ٦٠ + ١٢٠ = ٢ × ١٢٠ − ١٥ = ٢٢٥
القاعدة
النسبة = الحد ÷ الحد الذي قبله، وتحقّق منها بزوج آخر. الحد التالي = الحد الأخير × النسبة، والحد السابق = الحد ÷ النسبة. الحد رقم ن = الحد الأول مضروبًا في النسبة (ن − ١) مرة. في الكسور تابع البسط والمقام كلًّا وحده، وفي المجموع اكتب الحدود كلها ثم اجمعها.
عن هذا الدرس
في المتتابعة الهندسية نضرب كل حد في عدد ثابت اسمه «النسبة» لنحصل على الحد الذي يليه.
الشرح
في المتتابعة الحسابية نضيف العدد نفسه في كل خطوة، مثل ٣، ٦، ٩، ١٢ حيث نضيف ٣ كل مرة.
المتتابعة الهندسية تشبهها، لكننا نضرب بدل أن نجمع. نضرب كل حد في العدد نفسه فنحصل على الحد التالي، ويُسمّى هذا العدد الثابت «النسبة»، ونرمز له بالحرف ر.
لتعرف النسبة، اقسم أي حد على الحد الذي قبله مباشرة. ثم كرّر القسمة على زوج آخر من الحدود لتتأكد أن الناتج ثابت. إن ثبت الناتج فالمتتابعة هندسية، وهذا الناتج هو النسبة.
مثلًا
المتتابعة: ٥، ١٥، ٤٥، ١٣٥، ...
النسبة: ١٥ ÷ ٥ = ٣
التحقق: ٤٥ ÷ ١٥ = ٣، و١٣٥ ÷ ٤٥ = ٣
الفروق بين الحدود ١٠، ٣٠، ٩٠ وهي غير ثابتة، فالمتتابعة ليست حسابية.
الحد التالي: ١٣٥ × ٣ = ٤٠٥
النسبة لا تكون دائمًا عددًا صحيحًا موجبًا، ولذلك لا تحكم عليها من شكل الحدود. اعتمد دائمًا على القسمة نفسها: الحد ÷ الحد الذي قبله.
قد تكون النسبة كسرًا. في المتتابعة ٨١، ٢٧، ٩، ٣ تكون النسبة ٢٧ ÷ ٨١ = ١/٣. والضرب في ١/٣ هو نفسه القسمة على ٣، فالحد التالي ٣ ÷ ٣ = ١.
مثلًا
المتتابعة: ٦٠٠، ٦٠، ٦، ...
النسبة: ٦٠ ÷ ٦٠٠ = ١/١٠، أي أن كل حد يُقسم على ١٠.
القسمة على ١٠ تنقل الفاصلة العشرية منزلة واحدة إلى اليسار.
الحد الرابع: ٦ ÷ ١٠ = ٠٫٦
الحد الخامس: ٠٫٦ ÷ ١٠ = ٠٫٠٦
وقد تكون النسبة سالبة. عندها تتبدّل الإشارة مع كل حد: موجب ثم سالب ثم موجب، لأن ضرب عدد في عدد سالب يعكس إشارته.
مثلًا
المتتابعة: ٤، −١٢، ٣٦، ...
النسبة: −١٢ ÷ ٤ = −٣
التحقق: ٣٦ ÷ (−١٢) = −٣
الحد التالي: ٣٦ × (−٣) = −١٠٨
وانتبه: في المتتابعة −٥، −١٥، −٤٥ تبدو الأعداد كأنها تصغر، لكن −١٥ ÷ (−٥) = ٣، فالنسبة ٣ والحد التالي −٤٥ × ٣ = −١٣٥.
بعد أن عرفت كيف تجد النسبة، انتقل إلى حالة تتكرر كثيرًا في الاختبار: متتابعة حدودها كسور. هنا تابع البسط وحده والمقام وحده، فلكل منهما نمط ضرب خاص به.
مثلًا
المتتابعة: ٥/٢، ١٥/٨، ٤٥/٣٢، ...
البسوط: ٥، ١٥، ٤٥، وكل بسط يُضرب في ٣.
المقامات: ٢، ٨، ٣٢، وكل مقام يُضرب في ٤.
الحد التالي: البسط ٤٥ × ٣ = ١٣٥، والمقام ٣٢ × ٤ = ١٢٨، فالحد هو ١٣٥/١٢٨.
والنسبة نفسها هي ٣/٤، لأن (١٥/٨) ÷ (٥/٢) = ١٥/٨ × ٢/٥ = ٣٠/٤٠ = ٣/٤.
حتى الآن كنا نجد الحد التالي فقط. أما إذا سُئلت عن حد بعيد، كالحد السابع، فعليك أن تعرف كم مرة تضرب. من الحد الأول إلى الحد الخامس تضرب ٤ مرات لا ٥، لأن الحد الأول موجود أصلًا ولا يحتاج إلى ضرب.
القاعدة العامة: الحد رقم ن يساوي الحد الأول مضروبًا في النسبة عددًا من المرات قدره (ن − ١). فالحد العاشر يحتاج ٩ ضربات، والحد السادس يحتاج ٥ ضربات.
مثلًا
المتتابعة: ٢، ٦، ١٨، ... أوجد الحد السابع.
النسبة: ٦ ÷ ٢ = ٣
من الحد الأول إلى السابع نضرب ٧ − ١ = ٦ مرات.
الحد السابع = ٢ × ٣⁶ = ٢ × ٧٢٩ = ١٤٥٨
تحقق بالكتابة: ٢، ٦، ١٨، ٥٤، ١٦٢، ٤٨٦، ١٤٥٨
في المتتابعات العشرية التي تُقسم على ١٠ تصبح هذه الفكرة عدًّا للمنازل: كل قسمة تنقل الرقم منزلة عشرية واحدة إلى اليمين بعد الفاصلة.
مثلًا
المتتابعة: ٥، ٠٫٥، ٠٫٠٥، ... أوجد الحد السابع.
من الحد الأول إلى السابع نقسم على ١٠ ست مرات.
إذن يقع الرقم ٥ في المنزلة العشرية السادسة: ٠٫٠٠٠٠٠٥
تحقق بالكتابة: ٥، ٠٫٥، ٠٫٠٥، ٠٫٠٠٥، ٠٫٠٠٠٥، ٠٫٠٠٠٠٥، ٠٫٠٠٠٠٠٥
الصفر الذي قبل الفاصلة لا يُعدّ منزلة عشرية.
وإذا عرفت حدًّا وأردت الحد الذي قبله فاعكس العملية: اقسم على النسبة بدل أن تضرب.
مثلًا
المتتابعة: ؟، ؟، ٢٠، ٤٠، ٨٠
النسبة: ٤٠ ÷ ٢٠ = ٢
الحد الثاني: ٢٠ ÷ ٢ = ١٠
الحد الأول: ١٠ ÷ ٢ = ٥
آخر ما تحتاجه هو مسائل المجموع. في المسائل الكلامية، كقسط يتضاعف أو ادّخار يتزايد، قد يُطلب منك مجموع الحدود لا حدٌّ واحد. الطريقة أن تولّد الحدود بالضرب كما تعلّمت، ثم تجمعها كلها.
مثلًا
ادّخر طالب ٢٠ ريالًا في الأسبوع الأول، وفي كل أسبوع ادّخر ثلاثة أضعاف ما ادّخره في الأسبوع السابق. كم ادّخر في ٤ أسابيع؟
المبالغ: ٢٠، ٦٠، ١٨٠، ٥٤٠ (أربعة حدود بينها ثلاث ضربات)
المجموع: ٢٠ + ٦٠ + ١٨٠ + ٥٤٠ = ٨٠٠ ريال
الجواب ليس ٥٤٠، فهذا ما ادّخره في الأسبوع الأخير وحده.
وليس ٢٠ × ٤ = ٨٠، لأن المبالغ غير متساوية.
وحين تكون النسبة ٢ تحديدًا يوجد اختصار سريع: المجموع يساوي ضعف الحد الأخير ناقص الحد الأول. يفيدك هذا في التحقق من جمعك بسرعة.
مثلًا
المتتابعة: ١٥، ٣٠، ٦٠، ١٢٠
بالجمع: ١٥ + ٣٠ + ٦٠ + ١٢٠ = ٢٢٥
بالاختصار: ٢ × ١٢٠ − ١٥ = ٢٤٠ − ١٥ = ٢٢٥
سبب نجاح الاختصار: لو أضفت ١٥ إلى المجموع لتضاعف خطوة بعد خطوة: ١٥ + ١٥ = ٣٠، ثم ٣٠ + ٣٠ = ٦٠، ثم ٦٠ + ٦٠ = ١٢٠، ثم ١٢٠ + ١٢٠ = ٢٤٠. فالمجموع ومعه ١٥ يساوي ٢٤٠.
القاعدة
النسبة = أي حد ÷ الحد الذي قبله، وتحقّق منها في زوج آخر، ولا تحكم عليها من شكل الحدود. الحد التالي = الحد الأخير × النسبة، والحد السابق = الحد ÷ النسبة. الحد رقم ن = الحد الأول مضروبًا في النسبة (ن − ١) مرة. في الكسور تابع البسط والمقام كلًّا وحده. وفي المجموع اكتب الحدود كلها ثم اجمعها.
أخطاء شائعة
- حساب الفرق بين الحدود بدل قسمتها: في ٢، ٦، ١٨ الفروق ٤ ثم ١٢، فهي غير ثابتة. اقسم الحد على الذي قبله لتجد النسبة ٣.
- الحكم على النسبة من شكل الحدود: في −٢، −٤، −٨ تبدو الأعداد كأنها تصغر، لكن النسبة ٢. اقسم دائمًا ولا تخمّن.
- إهمال إشارة النسبة السالبة: إذا تبدّلت الإشارات بين موجب وسالب فالنسبة سالبة، فاضرب مع مراعاة الإشارة.
- الضرب بعدد مرات يساوي رقم الحد: الحد السابع يحتاج ٦ ضربات فقط، لأن الحد الأول لا يُضرب.
- تتبّع البسط وحده في الكسور: تحقّق من نمط المقام أيضًا، فلكل منهما ضرب خاص به.
- الخطأ في عدّ المنازل العشرية: كل قسمة على ١٠ تضيف منزلة واحدة بعد الفاصلة، والصفر الذي قبل الفاصلة لا يُعدّ.
- الإجابة بالحد الأخير في مسائل المجموع، أو ضرب الحد الأول في عدد الحدود: الحدود غير متساوية، فاكتبها كلها واجمعها.
اضغط على أي خيار خاطئ لترى لماذا لا يصح
ما الحد السادس للمتوالية: ٩، ٠٫٩، ٠٫٠٩، ...، ...، ...؟
- لماذا لا؟ هذا هو الحد الخامس.
- الإجابة الصحيحة: ٠٫٠٠٠٠٩صحيح؛ هذه نتيجة خمس قسمات متتالية على ١٠.
- لماذا لا؟ هذا هو الحد السابع؛ أجريت قسمة إضافية.
- لماذا لا؟ هذا هو الحد الثامن؛ تجاوزت المطلوب بخطوتين.
استراتيجية ذهنية
حلّ مفصّل
الخطأ الشائع
اضغط على أي خيار خاطئ لترى لماذا لا يصح
تنقسم خلية إلى خليتين كل عشر دقائق. فكم خلية تنتج من خلية واحدة خلال ٣٠ دقيقة؟
- الإجابة الصحيحة: ٨ثلاث دورات تعطي ١→٢→٤→٨، فالناتج ٨.
- لماذا لا؟ بعد ٢٠ دقيقة توجد ٤ خلايا، وانقسام كل منها إلى اثنتين يعطي ٨ لا ١٢.
- لماذا لا؟ ١٠ يزيد خليتين على ٤×٢ في الدورة الأخيرة، ولا توجد خلايا إضافية.
- لماذا لا؟ ٦ ينتج من ٢×٣، لكن كل دورة تضاعف جميع الخلايا لا تضيف خليتين فقط.
استراتيجية ذهنية
حلّ مفصّل
الخطأ الشائع
اختبر هذا المفهوم
خمسة أسئلة بلا مساعدة ولا محاولة ثانية، وأربع صحيحة تضع مستواك في هذا المفهوم عند صعوبتها.
٥ أسئلة بصعوبة «سهل»