القوى العددية

القوة ضرب متكرر للعدد نفسه: ٣⁴ = ٣ × ٣ × ٣ × ٣ = ٨١.

الأساس (٣) هو العدد المضروب، والأس (٤) عدد مرات ظهوره في الضرب.

إذا أُعطيت الناتج وطُلب منك الأساس، فاستعن بأشهر القوى:

قوانين الأسس الثلاثة الأولى تشترط أن يكون الأساس واحدًا:

عند الضرب اجمع الأسس: ٢³ × ٢² = ٢⁵ = ٣٢.

عند القسمة اطرح الأسس: ٥⁶ ÷ ٥⁴ = ٥² = ٢٥.

عند رفع قوة إلى قوة اضرب الأسس: (٢³)² = ٢⁶ = ٦٤.

أي أساس غير الصفر مرفوعًا إلى الأس صفر يساوي ١.

الأس السالب يعني المقلوب، ولا يجعل الناتج سالبًا: ٥⁻³ = ١/١٢٥، و(٢/٥)⁻² = (٥/٢)² = ٢٥/٤.

الأس الواقع على حاصل ضرب يتوزّع على العوامل، والعكس صحيح: ٤³ × ٢٥³ = ١٠٠³، و١٢⁴ ÷ ٦⁴ = ٢⁴ = ١٦.

إذا اختلفت الأساسات فاكتبها قوى لأساس مشترك.

لا يوجد قانون للأسس في الجمع والطرح، فاحسب كل حد وحده: ٢³ + ٢² = ٨ + ٤ = ١٢.

ويُستثنى من ذلك جمع قوى متساوية تمامًا: ٢⁶ + ٢⁶ = ٢ × ٢⁶ = ٢⁷.

إذا ضربت العدد في نفسه مرات متتالية، فاكتب ذلك باختصار على صورة قوة. فالضرب ٣ × ٣ × ٣ × ٣ يُكتب ٣⁴ ويُقرأ «٣ أس ٤». العدد المضروب (٣) اسمه الأساس، والعدد الصغير في الأعلى (٤) اسمه الأس، ويدل على عدد مرات ظهور الأساس في الضرب.

انتبه إلى الكلمتين لأنهما متقاربتان. الأساس هو العدد الكبير وجمعه الأساسات، والأس هو العدد الصغير وجمعه الأسس. نستعمل الكلمتين بهذا المعنى في الدرس كله.

لحساب قوة اكتب العوامل واضربها خطوة خطوة. لا تضرب الأساس في الأس، فـ ٣⁴ = ٨١ وليست ٣ × ٤ = ١٢.

إذا كان الأساس سالبًا فعُدّ الإشارات السالبة، لأن كل عاملين سالبين ناتجهما موجب. لذلك يكون ناتج الأس الزوجي موجبًا، وناتج الأس الفردي سالبًا.

وانتبه للأقواس. في (−٢)⁴ السالب داخل الضرب، أما −٢⁴ فمعناها سالب القوة ٢⁴.

بعض القوى تعرف قيمتها دون ضرب. العدد ١ مرفوعًا إلى أي أس يبقى ١، مهما كبر الأس ولو كان فيه متغير، لأنك لا تضرب إلا ١ في نفسه. والصفر مرفوعًا إلى أس موجب يبقى صفرًا.

في أسئلة كثيرة يُعطى الناتج ويُطلب الأساس، مثل: ما العدد الذي قوته الخامسة ٣٢؟ هنا ينفعك أن تحفظ أشهر القوى، فتعرف فورًا أن ٣٢ = ٢⁵.

بعد أن عرفت معنى القوة، ستجد أن قوانين الأسس ليست قواعد جديدة تحفظها، بل نتيجة مباشرة لعدّ العوامل. ونبدأ بالضرب.

عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه، ضع العوامل كلها في صف واحد وعُدّها. في ٢³ × ٢² ثلاثة عوامل ثم عاملان، أي خمسة عوامل. لذلك تجمع الأسس: ٢³ × ٢² = ٢⁵ = ٣٢.

وعند القسمة يُختصر كل عامل في المقام مع عامل مثله في البسط، فيبقى الفرق بينهما. لذلك تطرح أس المقام من أس البسط: ٥⁶ ÷ ٥⁴ = ٥² = ٢٥.

قانون الطرح يجيب عن سؤالين: ماذا يحدث إن تساوى الأسان، وماذا يحدث إن كان أس المقام أكبر؟ خذ أولًا ٥³ ÷ ٥³. الناتج ١ لأن كل عدد مقسومًا على نفسه يساوي ١، وقانون الطرح يعطي ٥⁰. إذن ٥⁰ = ١. وهذا صحيح لكل أساس غير الصفر، صحيحًا كان أو كسرًا أو سالبًا.

وخذ الآن ٥² ÷ ٥⁵. بعد الاختصار تبقى ثلاثة عوامل في المقام، أي أن الناتج ١/٥³، وقانون الطرح يعطي ٥⁻³. إذن الأس السالب يعني المقلوب: ٥⁻³ = ١/٥³ = ١/١٢٥. الإشارة السالبة في الأس لا تجعل الناتج سالبًا.

وللكسر المرفوع إلى أس سالب طريق مختصر: اقلب الكسر واجعل الأس موجبًا. ومن ذلك أن قسمة ١ على قوة أسها سالب تعطي القوة نفسها بأس موجب، فمثلًا ١ ÷ ٤⁻¹ = ٤.

القانونان السابقان لقوتين تُضربان أو تُقسمان. فإذا رُفعت القوة نفسها إلى أس آخر، أعطانا العدّ قانونًا ثالثًا.

(٢³)² معناها ٢³ × ٢³، أي مجموعتان في كل منهما ٣ عوامل، فيكون عدد العوامل ٢ × ٣ = ٦. لذلك تضرب الأسين: (٢³)² = ٢⁶ = ٦٤.

وإذا وقع الأس على حاصل ضرب توزّع على كل عامل: (٢ × ٥)³ = ٢³ × ٥³. وينفعك هذا في الاتجاه المعاكس أيضًا: إذا تساوت الأسس واختلفت الأساسات، فاضرب الأساسات واترك الأس كما هو، والقسمة كذلك.

قانونا جمع الأسس وطرحها يشترطان أن يكون للقوتين أساس واحد. فإذا اختلفت الأساسات، فحاول أن تكتب كل عدد قوةً لأساس مشترك، ودليلك في ذلك جدول القوى السابق: ٤ = ٢²، و٨ = ٢³، و١٦ = ٢⁴، و٩ = ٣²، و٢٧ = ٣³.

كل القوانين السابقة للضرب والقسمة وحدهما. أما في الجمع والطرح فلا يوجد قانون للأسس: ٢³ + ٢² لا تساوي ٢⁵، بل تحسب كل حد وحده فيكون الناتج ٨ + ٤ = ١٢.

والاستثناء المفيد أن تجمع قوى متساوية تمامًا. عندها تعدّها كما تعدّ أشياء متماثلة، فتصير عملية الجمع عملية ضرب: ٣⁴ + ٣⁴ + ٣⁴ = ٣ × ٣⁴ = ٣⁵.