القاطع والتوازي

إذا قطع قاطعٌ مستقيمين متوازيين تكوّنت ثماني زوايا لها قياسان فقط: حادة ومنفرجة مجموعهما ١٨٠°.

كل الحادات متساوية، وكل المنفرجات متساوية.

إذا كان القاطع عموديًا فالزوايا الثماني كلها ٩٠°.

الرسم قد لا يكون دقيقًا، فاعتمد على أسماء الزوايا.

الداخلية تقع بين المستقيمين، والخارجية تقع خارجهما.

المتناظرتان في الموضع نفسه عند نقطتي التقاطع، وهما متساويتان.

المتبادلتان تقعان في جهتين مختلفتين من القاطع، داخليتين أو خارجيتين، وهما متساويتان.

اللتان في جهة واحدة من القاطع، داخليتين أو خارجيتين، مجموعهما ١٨٠°.

لا تفترض التوازي لأن المستقيمين يبدوان متوازيين في الرسم. يجب أن يذكره السؤال أو تظهر علامته.

والعلاقات تعمل بالعكس: تساوي متناظرتين أو متبادلتين، أو مجموع داخليتين في جهة واحدة ١٨٠°، يثبت التوازي.

مع مثلث: انقل الزاوية بالتبادل أو التناظر إلى داخل المثلث، وحوّل كل زاوية خارجية إلى مكمّلتها، ثم استعمل أن مجموع زوايا المثلث ١٨٠°.

مع خط منكسر بين المتوازيين: ارسم من نقطة الانكسار مستقيمًا يوازيهما. تنقسم زاوية الانكسار إلى جزأين، وكل جزء يبادل زاوية معطاة، فاجمع الجزأين.

إذا أُعطيت الزاوية بين القطعة وامتداد المستقيم فهي منفرجة، فخذ مكمّلتها أولًا ثم انقلها.

القاطع مستقيم يقطع مستقيمين آخرين. عند كل نقطة تقاطع تتكوّن أربع زوايا، فيكون المجموع ثماني زوايا. هدفك في هذا الدرس أن تعرف من زاوية واحدة معطاة قياسَ أي زاوية أخرى من الثماني.

ابدأ بنقطة تقاطع واحدة، وفيها حقيقتان تعرفهما: الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان، والزاويتان المتجاورتان على خط مستقيم مجموعهما ١٨٠°. لذلك لا يظهر عند نقطة التقاطع إلا قياسان: قياس حاد، وقياس منفرج يكمّله إلى ١٨٠°.

الآن أضف مستقيمًا ثانيًا يوازي الأول. القاطع يميل على المستقيمين المتوازيين بالميل نفسه، فتصبح نقطة التقاطع الثانية نسخة مطابقة للأولى.

هذه أهم فكرة في الدرس: مع مستقيمين متوازيين تكون الزوايا الثماني قياسين فقط. كل الحادات متساوية، وكل المنفرجات متساوية، وأي حادة مع أي منفرجة مجموعهما ١٨٠°. (إذا كان القاطع عموديًا فالزوايا الثماني كلها ٩٠°.)

أسئلة القدرات تذكر الزوايا بأسمائها، وقد لا يكون الرسم دقيقًا فلا تستطيع أن تحكم بعينك أيّ الزاويتين حادة. لذلك تحتاج إلى الأسماء: كل اسم يخبرك مباشرة هل الزاويتان متساويتان أم مجموعهما ١٨٠°. قبل الأسماء تذكّر أن الزاوية الداخلية تقع بين المستقيمين، والخارجية تقع خارجهما.

المتناظرتان: زاويتان في الموضع نفسه عند نقطتي التقاطع، مثل «فوق المستقيم وعن يمين القاطع» في الموضعين. وهما متساويتان.

المتبادلتان داخليًا: زاويتان بين المستقيمين، وكل منهما في جهة مختلفة من القاطع. وهما متساويتان.

الداخليتان في جهة واحدة: زاويتان بين المستقيمين، وكلتاهما في الجهة نفسها من القاطع. إحداهما حادة والأخرى منفرجة، ولذلك مجموعهما ١٨٠°.

والخارجيتان تتبعان النمط نفسه: المتبادلتان خارجيًا (خارج المستقيمين وفي جهتين مختلفتين من القاطع) متساويتان، والخارجيتان في جهة واحدة مجموعهما ١٨٠°. الخلاصة: التناظر والتبادل يعنيان التساوي، والجهة الواحدة (داخليتين أو خارجيتين) تعني أن المجموع ١٨٠°.

كل ما سبق يعتمد على شرط واحد هو أن يكون المستقيمان متوازيين. إذا لم يذكر السؤال التوازي، ولم تظهر علامة التوازي على المستقيمين، فلا تفترضه لأن المستقيمين يبدوان متوازيين في الرسم؛ فالرسم قد لا يكون دقيقًا.

لكن العلاقات نفسها تعمل بالعكس أيضًا، فتستطيع بها إثبات التوازي: إذا تساوت زاويتان متناظرتان، أو زاويتان متبادلتان، أو كان مجموع داخليتين في جهة واحدة ١٨٠°، فالمستقيمان متوازيان.

بعد أن عرفت كيف تنقل الزاوية من موضع إلى آخر، استعمل هذا النقل في الأسئلة المركّبة. أكثرها يجمع بين مستقيمين متوازيين ومثلث، وخطتها ثابتة: انقل الزاوية المعطاة بالتبادل أو التناظر حتى تصل إلى داخل المثلث، وحوّل كل زاوية خارجية إلى مكمّلتها، ثم استعمل أن مجموع زوايا المثلث ١٨٠°.

في النوع الأخير لا يوجد قاطع مستقيم أصلًا، وإنما خط منكسر يصل بين المستقيمين المتوازيين، والمطلوب زاوية الانكسار. لا يمكنك هنا النقل مباشرة، فأنشئ الأداة التي تحتاجها: ارسم من نقطة الانكسار مستقيمًا ثالثًا يوازي المستقيمين. هذا المستقيم يقسم زاوية الانكسار إلى جزأين، وكل جزء يبادل زاوية معطاة.

انتبه إلى موضع الزاوية المعطاة. قد تُعطى على الجهة الأخرى من القطعة، أي بين امتداد المستقيم إلى اليسار والقطعة، فتكون منفرجة. خذ مكمّلتها أولًا، ثم انقلها بالتبادل.