الجذور العددية

الجذر يعكس القوة.

√أ هو العدد غير السالب الذي مربعه أ، فـ √٢٥ = ٥ فقط.

أما المعادلة س² = ٢٥ فلها حلّان: ٥ و−٥، إلا إن اشترط السؤال عددًا طبيعيًا أو موجبًا.

∛أ هو العدد الذي مكعبه أ، وإشارته إشارة أ: ∛(−٦٤) = −٤.

أما √(−٩) فليس عددًا حقيقيًا.

احفظ المربعات الكاملة حتى ١٦² = ٢٥٦، والمكعبات حتى ١٠³ = ١٠٠٠.

إذا كان تحت الجذر تعبير، فاحسبه كاملًا أولًا ثم خذ جذره.

إذا لم يكن العدد مربعًا كاملًا فقدّر جذره: ٥٠ بين ٤٩ و٦٤، إذن √٥٠ بين ٧ و٨، وهو أقرب إلى ٧.

الجذر يتوزّع على الضرب والقسمة: √(أ × ب) = √أ × √ب.

ولا يتوزّع على الجمع: √(٩ + ١٦) = ٥، أما √٩ + √١٦ فيساوي ٧.

لتبسيط الجذر أخرج أكبر مربع كامل من تحته، أو حلّل العدد إلى عوامله الأولية وأخرج عددًا واحدًا من كل عاملين متساويين.

لا تجمع إلا الجذور المتشابهة.

(√أ)² = أ، فمثلًا (√٧)² = ٧.

لإزالة الجذر من المقام اضرب البسط والمقام في الجذر نفسه.

وإن كان المقام مجموع جذرين أو الفرق بينهما، فاضرب البسط والمقام في المرافق: (√٧ − √٣)(√٧ + √٣) = ٧ − ٣ = ٤.

الجذر التربيعي هو العملية العكسية للتربيع. أنت تعرف أن ٥² = ٥ × ٥ = ٢٥. فإذا سُئلت: ما العدد الذي مربعه ٢٥؟ فالجواب ٥، ونكتب √٢٥ = ٥.

لكن (−٥)² = ٢٥ أيضًا. ومع ذلك فالرمز √ يعني دائمًا الجذر غير السالب، فـ √٢٥ = ٥ فقط. ناتج √ لا يكون سالبًا أبدًا.

أما المعادلة س² = ٢٥ فتسأل عن كل عدد مربعه ٢٥، ولها حلّان: س = ٥ أو س = −٥. فإذا اشترط السؤال أن س عدد طبيعي أو موجب، أخذت ٥ وحده.

وبالطريقة نفسها يعكس الجذر التكعيبي ∛ عملية التكعيب. فالسؤال ∛١٢٥ معناه: ما العدد الذي إذا ضُرب في نفسه ثلاث مرات أعطى ١٢٥؟ الجواب ٥، لأن ٥ × ٥ × ٥ = ١٢٥. والتكعيب ضرب العدد في نفسه ثلاث مرات، وليس ضربه في ٣.

والفرق المهم بين الجذرين هو الإشارة. للعدد السالب جذر تكعيبي سالب، لأن حاصل ضرب ثلاثة أعداد سالبة سالب: ∛(−٦٤) = −٤، لأن (−٤)³ = −٦٤. أما √(−٩) فليس عددًا حقيقيًا، إذ لا يوجد عدد مربعه سالب. ولهذا فالمعادلة س³ = عدد لها حل واحد فقط، بخلاف س² = عدد موجب.

لتحسب الجذور بسرعة في الاختبار، احفظ المربعات والمكعبات الكاملة. فحين ترى ١٩٦ تحت الجذر، تعرف فورًا أنه ١٤².

كثيرًا ما يأتي تحت الجذر تعبير يحتاج إلى حساب، لا عدد جاهز. احسب ما تحت الجذر كاملًا أولًا، ثم خذ جذره.

وإذا لم يكن العدد مربعًا كاملًا، فجذره يقع بين جذري أقرب مربعين كاملين حوله. العدد ٥٠ يقع بين ٤٩ و٦٤، إذن √٥٠ بين ٧ و٨، وهو أقرب إلى ٧ لأن ٥٠ قريب من ٤٩. هذا التقدير يكفيك في أسئلة المقارنة.

عرفت الآن كيف تحسب الجذر حين يكون العدد مربعًا كاملًا. ننتقل إلى الأعداد التي ليست مربعات كاملة، فنكتب جذرها في أبسط صورة. الأداة الأساسية لذلك أن الجذر يتوزّع على الضرب والقسمة: √(أ × ب) = √أ × √ب، و√(أ ÷ ب) = √أ ÷ √ب.

والقاعدة نفسها تبسّط الجذر: اكتب العدد حاصل ضرب مربع كامل في عدد آخر، ثم أخرج جذر المربع الكامل. مثلًا: √١٨٠ = √(٣٦ × ٥) = √٣٦ × √٥ = ٦√٥.

وإن لم يظهر لك المربع الكامل مباشرة، فحلّل العدد إلى عوامله الأولية. كل عاملين متساويين يخرجان من الجذر عددًا واحدًا، والعامل المنفرد يبقى تحته.

بعد التبسيط تستطيع جمع الجذور المتشابهة، أي التي تحت الجذر فيها العدد نفسه، كما تجمع الحدود المتشابهة: ٣√٢ + ٥√٢ = ٨√٢، تمامًا كما أن ٣س + ٥س = ٨س. أما √٢ + √٣ فلا يُجمعان في حد واحد.

وانتبه إلى أن الجذر يتوزّع على الضرب والقسمة فقط، لا على الجمع والطرح.

بقي نوعان من التعبيرات يكثران في الاختبار. الأول يعتمد على أن الجذر والتربيع يلغي أحدهما الآخر: (√أ)² = أ لكل عدد أ غير سالب، لأن √أ هو العدد الذي مربعه أ. فمثلًا (√٧)² = ٧.

والنوع الثاني كسر في مقامه جذر. العادة أن نتخلص من الجذر في المقام، وأسهل طريقة أن تضرب البسط والمقام في الجذر نفسه، فيصير المقام عددًا صحيحًا لأن √٣ × √٣ = ٣. ضرب البسط والمقام في العدد نفسه لا يغيّر قيمة الكسر.

فإن كان المقام مجموع جذرين أو الفرق بينهما، مثل √٧ − √٣، فلا يكفي الضرب في أحد الجذرين. هنا نضرب في المرافق، وهو الحدّان نفساهما بإشارة معاكسة بينهما: مرافق √٧ − √٣ هو √٧ + √٣. وسبب اختياره أن حاصل ضربهما خالٍ من الجذور، كما يوضح الرسم.