الأشكال الأساسية

المساحة عدد الوحدات المربعة التي تغطي الشكل، وتُكتب بوحدة مربعة مثل سم².

كل القوانين مبنية على المستطيل: الطول × العرض، والمربع: الضلع².

المثلث نصف مستطيل: (القاعدة × الارتفاع) ÷ ٢.

متوازي الأضلاع يصير مستطيلًا بالقص واللصق: القاعدة × الارتفاع، بلا نصف.

شبه المنحرف: (مجموع القاعدتين × الارتفاع) ÷ ٢. والقاعدتان هما الضلعان المتوازيان أينما وقعا في الرسم.

المعين والطائرة الورقية كلٌّ منهما نصف المستطيل المرسوم حول قطريه: (القطر الأول × القطر الثاني) ÷ ٢.

والمربع إذا عرفت قطره فقط: القطر² ÷ ٢.

الارتفاع هو الخط العمودي على القاعدة، والضلع المائل لا يدخل في الحساب.

قد يقع الارتفاع داخل الشكل، وقد يكون أحد أضلاعه، وقد يقع خارجه.

في المثلث القائم، ضلعا القائمة هما القاعدة والارتفاع.

وإن لم يُعطَ الارتفاع، فاستخرجه بنظرية فيثاغورس من المثلث القائم الذي يصنعه مع الضلع المائل.

لإيجاد بعد مجهول اعكس القانون: البعد = المساحة ÷ البعد المعلوم.

إذا كان في القانون قسمة على ٢، فاضرب المساحة في ٢ أولًا.

محيط المربع ÷ ٤ يعطيك ضلعه.

لمقارنة مثلثين، قارن حاصلَي القاعدة × الارتفاع مباشرة.

المثلث الذي قاعدته قاعدة متوازي الأضلاع ورأسه على الضلع المقابل مساحته نصف مساحة متوازي الأضلاع.

في الشكل المركّب، اجمع مساحات الأجزاء، أو اطرح مساحة المحذوف من مساحة الكل.

المساحة تجيب عن سؤال واحد: كم مربعًا صغيرًا، طول ضلعه وحدة واحدة، يلزم لتغطية الشكل كله؟ لذلك تُكتب المساحة بوحدة مربعة مثل سم² أو م². أما المحيط فهو طول، ويُكتب بالسنتيمتر أو المتر.

في المستطيل تترتّب المربعات صفوفًا متساوية. عدد الصفوف هو العرض، وعدد المربعات في كل صف هو الطول، فتكون المساحة = الطول × العرض. والمربع مستطيل تساوى بعداه، فمساحته = الضلع × الضلع = الضلع².

قد يعطيك السؤال المساحة ويطلب أحد البعدين. عندئذ تستعمل القانون نفسه بالعكس: البعد المجهول = المساحة ÷ البعد المعلوم. وإذا أُعطيت محيط المربع فاقسمه على ٤ لتحصل على الضلع، ثم ربّع الضلع لتحصل على المساحة.

كثير من الأشكال في الأسئلة مركّبة. إذا تكوّن الشكل من أجزاء، فاحسب مساحة كل جزء واجمعها. وإذا كان جزءًا محذوفًا من شكل أكبر، فاحسب مساحة الكل واطرح منها المحذوف. وإذا قُسّم الشكل إلى أجزاء متطابقة، فمساحة الجزء = مساحة الكل ÷ عدد الأجزاء.

المستطيل هو الأساس، ومنه نشتق قوانين بقية الأشكال. نبدأ بالمثلث: ارسم حوله مستطيلًا له القاعدة نفسها والارتفاع نفسه، ثم أنزل من رأس المثلث خطًا عموديًا إلى القاعدة.

الخط العمودي يقسم المستطيل الكبير إلى مستطيلين، والمثلث يأخذ نصف كل منهما بالضبط. إذن مساحة المثلث = نصف مساحة المستطيل = (القاعدة × الارتفاع) ÷ ٢.

الارتفاع هو المسافة العمودية من الرأس إلى الخط الذي تقع عليه القاعدة، وليس أحد الضلعين المائلين. قد يقع الارتفاع داخل المثلث، وقد يكون أحد أضلاعه كما في المثلث القائم، وقد يقع خارجه فتمدّ القاعدة حتى تلاقيه.

لاحظ في الرسم أن الأضلاع المائلة مختلفة الأطوال، ومع ذلك تتساوى المساحات لأن القاعدة واحدة والارتفاع واحد. وفي المثلث القائم يكون الضلعان المحيطان بالزاوية القائمة هما القاعدة والارتفاع.

لإيجاد القاعدة أو الارتفاع من المساحة، تخلّص من النصف أولًا: اضرب المساحة في ٢ فتحصل على حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع، ثم اقسم على البعد المعلوم. وإذا ربط السؤال البعدين بعلاقة كفرق أو مجموع، فابحث بين أزواج عوامل ضعف المساحة عن الزوج الذي يحقق هذه العلاقة.

عند مقارنة مساحتي مثلثين لا تحتاج إلى القسمة على ٢، لأن النصف مشترك بينهما. قارن حاصلَي ضرب القاعدة في الارتفاع مباشرة، ولا تحكم بالارتفاع وحده.

حصلنا على المثلث من المستطيل بقسمته إلى نصفين. أما متوازي الأضلاع فنحصل منه على مستطيل بطريقة «قصّ وألصق»: اقطع المثلث الصغير من أحد طرفيه وانقله إلى الطرف الآخر، فيصير الشكل مستطيلًا دون أن تتغير مساحته.

المستطيل الناتج طوله قاعدة متوازي الأضلاع، وعرضه ارتفاعه العمودي. إذن مساحة متوازي الأضلاع = القاعدة × الارتفاع، بلا نصف. والضلع المائل لا يدخل في القانون، وهو دائمًا أطول من الارتفاع. لذلك إذا تساوت قاعدة متوازي أضلاع وارتفاعه مع بعدي مستطيل، فالمساحتان متساويتان.

إذا لم يُعطَ الارتفاع فابحث عن المثلث القائم الذي يصنعه الارتفاع مع الضلع المائل. الضلع المائل وتر هذا المثلث، وساقاه هما الارتفاع والجزء الأفقي من القاعدة، فتستخرج الارتفاع بنظرية فيثاغورس.

إذا رُسم داخل متوازي الأضلاع مثلث قاعدته قاعدة متوازي الأضلاع ورأسه على الضلع المقابل، فللمثلث القاعدة نفسها والارتفاع نفسه، فمساحته نصف مساحة متوازي الأضلاع أينما وقع رأسه. وإذا كانت قاعدة المثلث نصف القاعدة فقط، فمساحته ربع مساحة الشكل.

متوازي الأضلاع يفسّر لنا أيضًا قانون شبه المنحرف. شبه المنحرف فيه ضلعان متوازيان فقط نسمّيهما القاعدتين، وارتفاعه هو المسافة العمودية بينهما. لتعرف مساحته، ضع بجانبه نسخة مقلوبة منه.

الشكلان معًا متوازي أضلاع قاعدته (أ + ب) وارتفاعه ع، فمساحته (أ + ب) × ع، وشبه المنحرف نصفه. إذن مساحة شبه المنحرف = (مجموع القاعدتين × الارتفاع) ÷ ٢. وبعبارة أسهل: متوسط القاعدتين × الارتفاع.

القاعدتان هما الضلعان المتوازيان أينما وقعا في الرسم، وليستا بالضرورة الضلعين العلوي والسفلي. في شبه المنحرف القائم المرسوم «واقفًا» تكون القاعدتان رأسيتين، ويكون الارتفاع هو الضلع الأفقي العمودي عليهما.

بقي شكلان نستعمل فيهما القطرين بدل القاعدة والارتفاع، ونعود فيهما إلى المستطيل المحيط كما فعلنا مع المثلث. المعين أضلاعه الأربعة متساوية، وقطراه متعامدان وينصف كل منهما الآخر. والطائرة الورقية فيها زوجان من الأضلاع المتجاورة المتساوية: ضلعان متجاوران متساويان، والضلعان الآخران متجاوران متساويان، ولا يلزم أن يتساوى الزوجان. وقطراها متعامدان أيضًا، وهذا التعامد هو ما نحتاجه.

ارسم حول الشكل مستطيلًا أضلاعه موازية للقطرين، فيكون طوله القطر الأول وعرضه القطر الثاني. يقسم القطران هذا المستطيل إلى أربعة مستطيلات صغيرة، والشكل يأخذ نصف كل منها.

إذن مساحة المعين أو الطائرة الورقية = (القطر الأول × القطر الثاني) ÷ ٢. والمربع معين أيضًا، فإذا عرفت قطره وحده فمساحته = القطر² ÷ ٢. ولأن المعين متوازي أضلاع، تصحّ مساحته كذلك بالقانون: الضلع × الارتفاع.