القوائم ومبدأ العد
عن هذا الدرس
رتّب الحالات في قائمة أو جدول لتعدّها دون أن تنسى حالة أو تكرّرها، واضرب في المراحل المتتابعة، واجمع في البدائل المنفصلة.
إذا كانت الحالات قليلة فاكتبها في قائمة بترتيب ثابت: ثبّت الاختيار الأول، واكتب معه كل اختيارات الثاني، ثم انتقل إلى التالي.
بهذا لا تنسى حالة ولا تكرّرها.
وإذا كان في السؤال شرط، كمجموع معيّن لمكعبين، فارسم جدولًا بكل الأزواج، وعُدّ الخانات التي تحقق الشرط.
حين يكون المكعبان مختلفين، فإن (٢ ثم ٦) حالة غير (٦ ثم ٢).
مثلًا
كم مرة يُكتب الرقم ٣ في الأعداد من ١ إلى ٤٠؟
عُدّ كل منزلة وحدها.
في الآحاد: ٣، ١٣، ٢٣، ٣٣، أي ٤ مرات.
في العشرات: من ٣٠ إلى ٣٩، أي ١٠ مرات.
عدد مرات الكتابة = ٤ + ١٠ = ١٤
أما عدد الأعداد التي تحتوي الرقم ٣ فهو ١٣، لأن ٣٣ عدد واحد.
مراحل متتابعة تحتاج قرارًا في كل منها (و): اضرب أعداد الخيارات.
بدائل منفصلة تختار واحدًا منها فقط (أو): اجمع أعدادها.
إذا اجتمع المبدآن فقسّم الحالات إلى طرق لا تتداخل، واضرب داخل كل طريق، ثم اجمع نواتج الطرق.
القيود تغيّر عدد الخيارات.
إذا مُنع التكرار فأنقص من كل خانة ما استُعمل قبلها.
وإذا قُيّدت خانة بعينها فابدأ بها قبل غيرها.
مثلًا
كم عددًا زوجيًا من رقمين مختلفين يمكن تكوينه من الأرقام ١، ٢، ٣، ٤، ٥؟
الآحاد أولًا: ٢ أو ٤، أي اختياران.
العشرات: أي رقم من الأربعة الباقية، أي ٤ اختيارات.
العدد = ٢ × ٤ = ٨
اقرأ شرط الاختيار قبل أن تحسب.
عبارة «واحد من كل مجموعة» تعني خانة لكل مجموعة: من ٣ فصول، في كل فصل ٤ مرشحين، تتكوّن اللجنة بـ ٤ × ٤ × ٤ = ٦٤ طريقة.
القاعدة
إذا احتجت قرارًا في كل مرحلة (و) فاضرب، وإذا اخترت واحدًا من بدائل منفصلة (أو) فاجمع. ابدأ بالخانة المقيدة، وأنقص ما استُعمل إذا مُنع التكرار. وإذا كانت الحالات قليلة فاكتبها في قائمة أو جدول بترتيب ثابت.
عن هذا الدرس
رتّب الحالات في قائمة أو جدول لتعدّها دون أن تنسى حالة أو تكرّرها، واضرب في المراحل المتتابعة، واجمع في البدائل المنفصلة.
الشرح
أسئلة العد تسألك عن عدد الحالات الممكنة. الخطر فيها ليس الحساب، بل أن تنسى حالة أو تعدّ الحالة نفسها مرتين. ويمنع ذلك شيء واحد: التنظيم.
أبسط أدوات التنظيم هي القائمة المنظمة. ثبّت الاختيار الأول، واكتب معه كل اختيارات الثاني، ثم انتقل إلى الاختيار الأول التالي. بهذا الترتيب الثابت لا تفلت منك حالة ولا تتكرر حالة.
مثلًا
مطعم يقدّم ٣ أطباق رئيسة (كبسة، مندي، مظبي) ونوعين من العصير (برتقال، مانجو). كم وجبة مختلفة تتكوّن من طبق وعصير؟
ثبّت الكبسة: كبسة وبرتقال، كبسة ومانجو.
ثبّت المندي: مندي وبرتقال، مندي ومانجو.
ثبّت المظبي: مظبي وبرتقال، مظبي ومانجو.
عدد الوجبات = ٦
إذا كان في السؤال شرط يختار بعض الأزواج دون بعض، كأن يُطلب مجموع معيّن، فالجدول أوضح من القائمة. الجدول يعرض كل الأزواج الممكنة أمامك، فتلوّن منها ما يحقق الشرط وتعدّه.
مثلًا
رُمي مكعبان مرقّمان من ١ إلى ٦، أحدهما أحمر والآخر أزرق. بكم طريقة يكون مجموع الرقمين ٨؟
ثبّت رقم الأحمر، وابحث عن رقم الأزرق الذي يكمل ٨:
الأحمر ١ يحتاج إلى ٧، وهو غير موجود.
الأحمر ٢ مع الأزرق ٦، والأحمر ٣ مع ٥، والأحمر ٤ مع ٤، والأحمر ٥ مع ٣، والأحمر ٦ مع ٢.
عدد الطرق = ٥
لاحظ أن (الأحمر ٢ والأزرق ٦) حالة مختلفة عن (الأحمر ٦ والأزرق ٢)، لأن المكعبين مختلفان.
ومن أسئلة القوائم المشهورة: كم مرة يُكتب رقم معيّن عند كتابة سلسلة من الأعداد؟ نظّم القائمة هنا حسب المنازل: عُدّ ظهور الرقم في منزلة الآحاد وحدها، ثم في منزلة العشرات وحدها، ثم اجمع.
مثلًا
عند كتابة الأعداد من ١ إلى ٤٠، كم مرة يُكتب الرقم ٣؟
في منزلة الآحاد: ٣، ١٣، ٢٣، ٣٣، أي ٤ مرات.
في منزلة العشرات: من ٣٠ إلى ٣٩، أي ١٠ مرات.
العدد ٣٣ ظهر في القائمتين، وهذا صحيح لأن الرقم ٣ يُكتب فيه مرتين.
عدد مرات الكتابة = ٤ + ١٠ = ١٤
أما لو كان السؤال: كم عددًا يحتوي الرقم ٣؟ فالجواب ١٣، لأن ٣٣ عدد واحد.
القائمة ممتازة حين تكون الحالات قليلة، لكنك لن تكتب ٨٠ حالة في الاختبار. عُد إلى شجرة الوجبات ولاحظ: كل طبق تفرّع إلى العدد نفسه من العصائر. ٣ فروع، يتفرّع كل منها إلى ٢، فالنهايات ٣ × ٢. هذا هو مبدأ الضرب.
مبدأ الضرب: إذا تكوّن الاختيار من مراحل متتابعة، ويلزمك قرار في كل مرحلة (هذا و هذا و هذا)، وكان عدد خيارات كل مرحلة ثابتًا مهما اخترت قبلها، فاضرب أعداد الخيارات.
مثلًا
متجر يبيع قميصًا بـ ٤ ألوان و٣ مقاسات، ولكل منها نوعان من الأكمام: طويل وقصير. كم قميصًا مختلفًا يمكن شراؤه؟
اللون: ٤ اختيارات.
لكل لون ٣ مقاسات: ٤ × ٣ = ١٢ تركيبة.
لكل تركيبة نوعان من الأكمام: ١٢ × ٢ = ٢٤
عدد القمصان = ٤ × ٣ × ٢ = ٢٤
لماذا لا نجمع ٤ + ٣ + ٢ = ٩؟ لأن ٩ هو عدد الخيارات المعروضة أمامك، لا عدد القمصان المختلفة. القميص الواحد لون ومقاس وكُم معًا، وكل مرحلة تضاعف عدد التركيبات التي قبلها.
الضرب يناسب «و». لكن بعض الأسئلة تجعلك تختار شيئًا واحدًا من مجموعات منفصلة: هذا أو ذاك، ولا يجتمعان. هنا لا تتضاعف التركيبات، بل تُضاف الخيارات بعضها إلى بعض، وهذا مبدأ الجمع.
مثلًا
للسفر من الرياض إلى الدمام في يوم ما ٤ رحلات طيران و٣ رحلات قطار. بكم طريقة تختار رحلة واحدة؟
الرحلة إما طيران وإما قطار، ولا تكون الاثنين معًا.
عدد الطرق = ٤ + ٣ = ٧
كثيرًا ما يجتمع المبدآن في سؤال واحد. قسّم الحالات أولًا إلى طرق منفصلة لا تتداخل، واحسب كل طريق بالضرب إن كان مراحل، ثم اجمع نواتج الطرق.
مثلًا
من المدينة أ إلى المدينة ج طريقان مباشران. ويمكن أيضًا المرور بالمدينة ب: من أ إلى ب ٣ طرق، ومن ب إلى ج طريقان. بكم طريقة يمكن الذهاب من أ إلى ج؟
الحالة الأولى، عبر ب: طريق إلى ب ثم طريق إلى ج، مرحلتان متتابعتان: ٣ × ٢ = ٦
الحالة الثانية، مباشرة: ٢
الحالتان لا تجتمعان، فنجمع: ٦ + ٢ = ٨ طرق
في كل ما سبق كان عدد خيارات المرحلة ثابتًا لا يتأثر بما قبله. لكن القيود تغيّر ذلك، وأشهرها منع التكرار: الشيء الذي استعملته في خانة لا يعود متاحًا في الخانة التالية، فينقص عدد الخيارات.
مثلًا
كم عددًا من رقمين يمكن تكوينه من الأرقام ١، ٢، ٣، ٤؟
إذا جاز التكرار: العشرات ٤ اختيارات، والآحاد ٤ اختيارات، فالعدد = ٤ × ٤ = ١٦
إذا اشتُرط أن يكون الرقمان مختلفين: العشرات ٤ اختيارات، والآحاد ٣ فقط لأن رقمًا استُعمل، فالعدد = ٤ × ٣ = ١٢
الفرق ٤ أعداد، هي ١١، ٢٢، ٣٣، ٤٤
وإذا فُرض شرط على خانة بعينها، فابدأ بها قبل غيرها. لو بدأت بخانة حرة لتغيّر عدد خيارات الخانة المقيدة بحسب ما اخترته، واضطررت إلى تقسيم الحالات.
مثلًا
كم عددًا زوجيًا من رقمين مختلفين يمكن تكوينه من الأرقام ١، ٢، ٣، ٤، ٥؟
ابدأ بالآحاد لأنها الخانة المقيدة: يجب أن تكون ٢ أو ٤، أي اختياران.
العشرات: أي رقم من الأربعة الباقية، أي ٤ اختيارات.
العدد = ٢ × ٤ = ٨
تحقّق بالقائمة: ١٢، ٣٢، ٤٢، ٥٢، ١٤، ٢٤، ٣٤، ٥٤
لو بدأت بالعشرات: إن اخترت ٢ أو ٤ بقي للآحاد اختيار زوجي واحد، وإن اخترت غيرهما بقي اختياران. العدد صحيح في النهاية، لكن الطريق أطول وأكثر عرضة للخطأ.
وأخيرًا، اقرأ شرط الاختيار بدقة قبل أن تحسب. عبارة «واحد من كل مجموعة» تعني أن لكل مجموعة خانة مستقلة، فتضرب أعداد المجموعات. أما الاختيار الحر من الجميع فعدّه مختلف.
مثلًا
في مدرسة ٣ فصول، ورُشّح من كل فصل ٤ طلاب. يراد تكوين لجنة من ٣ طلاب، طالب من كل فصل. بكم طريقة يمكن تكوينها؟
لكل فصل خانة، وفي كل خانة ٤ اختيارات: ٤ × ٤ × ٤ = ٦٤
لو قال السؤال: أي ٣ طلاب من المرشحين الاثني عشر دون شرط الفصل، لكان العدد مختلفًا تمامًا، وطريقته في درس التوافيق.
القاعدة
إذا لزمك قرار في كل مرحلة من مراحل متتابعة (و)، فاضرب أعداد الخيارات. وإذا اخترت واحدًا من بدائل منفصلة (أو)، فاجمع أعدادها. وإذا غيّر قيد عدد الخيارات، فابدأ بالخانة المقيدة وأنقص ما استُعمل. وحين تكون الحالات قليلة أو الشرط معقّدًا، اكتبها في قائمة أو جدول بترتيب ثابت.
أخطاء شائعة
- جمع خيارات المراحل (٤ + ٣ + ٢) بدل ضربها؛ اسأل نفسك: هل أحتاج قرارًا من كل مرحلة؟ إن كان الجواب نعم فاضرب.
- ضرب البدائل المنفصلة بدل جمعها؛ إذا كان الاختيار واحدًا من هذا «أو» ذاك فاجمع.
- كتابة الحالات عشوائيًا فتُنسى حالة أو تتكرر؛ ثبّت عنصرًا وغيّر الآخر بترتيب ثابت.
- عدّ العدد ٣٣ مرة واحدة عند السؤال عن مرات كتابة الرقم ٣؛ عُدّ كل منزلة وحدها ثم اجمع.
- الخلط بين «كم مرة يُكتب الرقم» و«كم عددًا يحتوي الرقم»؛ الأول يعدّ الأرقام المكتوبة، والثاني يعدّ الأعداد.
- نسيان إنقاص الخيارات حين يُمنع التكرار؛ الرقم المستعمل لا يعود متاحًا في الخانة التالية.
- البدء بخانة حرة قبل الخانة المقيدة؛ املأ الخانة المشروطة أولًا.
- التوقف بعد فئتين من ثلاث (قلم ومسطرة ونسيان الدفتر)؛ عُدّ المراحل المطلوبة في السؤال قبل أن تحسب.
- عدّ (٢ ثم ٦) و(٦ ثم ٢) حالة واحدة مع أن المكعبين مختلفان؛ حين يكون الترتيب مهمًا فهما حالتان.
- الحساب قبل قراءة الشرط، كأن تعامل «طالب من كل فصل» معاملة «أي طلاب من الجميع»؛ حدّد الشرط أولًا.
اضغط على أي خيار خاطئ لترى لماذا لا يصح
عند كتابة الأعداد من ١ إلى ١٠٠، كم مرة يُكتب الرقم ٩؟
- لماذا لا؟ ١٩ عدد الأعداد التي تحتوي ٩، لكنه يحسب ٩٩ مرة واحدة بدل ظهورين.
- الإجابة الصحيحة: ٢٠عشر مرات في الآحاد وعشر في العشرات تعطي ٢٠.
- لماذا لا؟ ٢١ يضيف ظهورًا غير موجود؛ ١٠٠ لا يحتوي ٩.
- لماذا لا؟ ٢٢ يزيد ظهورين على مجموع الآحاد والعشرات ٢٠.
استراتيجية ذهنية
حلّ مفصّل
الخطأ الشائع
اضغط على أي خيار خاطئ لترى لماذا لا يصح
ينتج مصنع ٥ أنواع من الأطباق، ويتيح لكل نوع ٤ ألوان و ٤ زخارف. فكم منتجًا مختلفًا يمكن أن ينتجه؟
- لماذا لا؟ ٤٥ موزعة على الأنواع الخمسة تعطي ٩ تركيبات لكل نوع، بينما لكل نوع ١٦ تركيبة.
- لماذا لا؟ ٥٠ تعطي ١٠ تركيبات لكل نوع، وتغفل بعض أزواج الألوان والزخارف الأربعة.
- الإجابة الصحيحة: ٨٠لكل نوع ١٦ تركيبة، ومع خمسة أنواع يكون العدد ٥×١٦=٨٠.
- لماذا لا؟ ١٠٠ تعطي ٢٠ تركيبة لكل نوع، بينما المتاح ٤ ألوان×٤ زخارف=١٦ فقط.
استراتيجية ذهنية
حلّ مفصّل
الخطأ الشائع
اختبر هذا المفهوم
خمسة أسئلة بلا مساعدة ولا محاولة ثانية، وأربع صحيحة تضع مستواك في هذا المفهوم عند صعوبتها.
٥ أسئلة بصعوبة «سهل»