الحجم ومساحة السطح

الحجم يسأل: كم يتسع المجسم؟ (ملء)، ووحدته مكعبة مثل سم³.

مساحة السطح تسأل: كم يلزم لتغطيته؟ (تغليف)، ووحدتها مربعة مثل سم².

قبل أي حساب اسأل: ملء أم تغطية؟

لكل منشور: الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع العمودي.

الصندوق: الطول × العرض × الارتفاع، والمكعب: الحرف³.

مضاعفة حرف المكعب تضرب حجمه في ٨.

لرصّ مكعبات في صندوق: عُدّ المكعبات الكاملة في كل اتجاه، ثم اضرب الأعداد الثلاثة.

في المنشور المائل استعمل الارتفاع العمودي، لا الحرف المائل.

الأسطوانة: ط × نق² × ع.

إن أُعطي القطر فاقسمه على ٢، وإن أُعطي المحيط فاقسمه على ٢ط.

وإن أُعطيت مساحة القاعدة فاضربها في الارتفاع دون ط.

في المقارنة ط > ٣، فعوّض بـ ٣ لتقدير حدّ أدنى للحجم.

مساحة السطح = مجموع مساحات الأوجه الموجودة فعلًا.

الصندوق: ٢ × (مجموع مساحات ثلاثة أوجه مختلفة)، والمكعب: ٦ × الحرف².

الصندوق بلا غطاء: اطرح مساحة الغطاء.

الهرم الرباعي: كل وجه جانبي = (ضلع القاعدة × الارتفاع الجانبي) ÷ ٢.

جانب الأسطوانة المفرود مستطيل طوله محيط القاعدة، وعرضه الارتفاع.

المساحة الجانبية للأسطوانة = ٢ط نق ع.

أضف ط نق² لكل قاعدة موجودة: قاعدة واحدة للكوب المفتوح، وقاعدتان للعلبة المغلقة.

تخيّل علبة كرتون. يمكنك أن تسأل عنها سؤالين مختلفين: كم تتسع من الداخل؟ وكم ورقًا يلزم لتغليفها من الخارج؟ السؤال الأول عن الحجم، والثاني عن مساحة السطح.

الحجم يُقاس بعدد المكعبات الصغيرة التي تملأ المجسم، لذلك وحدته مكعبة مثل سم³. ومساحة السطح تُقاس بعدد المربعات الصغيرة التي تغطي أوجهه، لذلك وحدتها مربعة مثل سم². قبل أي حساب اسأل نفسك: هل المطلوب ملء أم تغطية؟

نبدأ بالحجم في أبسط مجسم، وهو متوازي المستطيلات (الصندوق). لنعدّ المكعبات في صندوق طوله ٥ وعرضه ٢ وارتفاعه ٣.

في الطبقة الواحدة ٥ × ٢ = ١٠ مكعبات، وهذا العدد هو مساحة القاعدة. وعدد الطبقات يساوي الارتفاع ٣، فالمجموع ٣٠ مكعبًا. إذن حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع. والمكعب حالة خاصة أبعاده الثلاثة متساوية، فحجمه = الحرف × الحرف × الحرف = الحرف³.

الحرف يدخل في حجم المكعب ثلاث مرات، لذلك يكبر الحجم عند تكبير الحرف أسرع بكثير مما تتوقع.

إذا ضاعفت الحرف ضُرب الحجم في ٢³ = ٨، وإذا جعلته ثلاثة أمثاله ضُرب الحجم في ٣³ = ٢٧. بهذه الفكرة تحلّ أسئلة «كم مكعبًا صغيرًا يعادل المكعب الكبير؟» دون كسور: اقسم الحرف الكبير على الحرف الصغير، ثم كعّب الناتج.

حين نرصّ مكعبات داخل صندوق قد لا تكون أبعاده مضاعفات لحرف المكعب، وعندها لا تكفي قسمة الحجم على الحجم. خذ صندوقًا أبعاده ٩ و٦ و٥ سم ومكعبات حرفها ٣ سم، وانظر إلى وجهه الذي بُعداه ٩ و٥:

ارجع إلى صورة الطبقات: الحجم = مساحة الطبقة الواحدة × عدد الطبقات. هذه الفكرة لا تخص الصندوق وحده، فهي تصلح لكل منشور. والمنشور مجسم له قاعدتان متطابقتان متوازيتان، ومقطعه بينهما ثابت، مهما كان شكل القاعدة.

حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع. والارتفاع هنا هو المسافة بين القاعدتين، حتى لو كان المنشور مستلقيًا على جنبه كالمنشور الثلاثي في الرسم.

في المنشور المائل يكون الحرف الجانبي أطول من الارتفاع. والحجم يستعمل الارتفاع العمودي، أي المسافة العمودية بين القاعدتين، لا طول الحرف المائل.

الأسطوانة منشور قاعدته دائرة، فتخيّلها كومة من الأقراص الدائرية المتطابقة. لذلك يبقى القانون نفسه: الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع. ومساحة الدائرة = ط × نق²، فيكون حجم الأسطوانة = ط × نق² × ع، حيث نق نصف القطر وع الارتفاع.

في كثير من الأسئلة لا يُعطى نصف القطر مباشرة، فاستخرجه أولًا. إذا أُعطي القطر فاقسمه على ٢. وإذا أُعطي محيط القاعدة فاقسمه على ٢ط، لأن المحيط = ٢ × ط × نق. وإذا أُعطيت مساحة القاعدة جاهزة فاضربها في الارتفاع مباشرة دون ط.

في أسئلة المقارنة لا تحتاج غالبًا إلى ضرب ط في عدد عشري. تذكّر أن ط ≈ ٣٫١٤، أي أنها أكبر من ٣. فإذا وضعت ٣ مكان ط حصلت على عدد أصغر من الحجم الحقيقي، فإن كان هذا العدد نفسه أكبر من العدد المقارَن به فالحجم أكبر منه قطعًا.

ننتقل الآن من سؤال الملء إلى سؤال التغطية. مساحة سطح المجسم هي مجموع مساحات أوجهه. وأسهل طريقة لرؤيتها أن تفكّ المجسم وتفرده على الورق، فتظهر أوجهه كلها مسطّحة. هذا هو الصندوق نفسه الذي أبعاده ٥ و٢ و٣ مفرودًا:

لمتوازي المستطيلات ستة أوجه، وكل وجهين متقابلين متطابقان. لذلك احسب مساحات ثلاثة أوجه مختلفة، ثم اضرب مجموعها في ٢: مساحة السطح = ٢ × (الطول × العرض + الطول × الارتفاع + العرض × الارتفاع). والمكعب أوجهه الستة مربعات متطابقة، فمساحة سطحه = ٦ × الحرف².

اقرأ السؤال لتعرف أي الأوجه موجودة فعلًا. الصندوق الذي بلا غطاء له خمسة أوجه فقط، فلا تضف مساحة الغطاء.

الفكرة نفسها تصلح للهرم، وأوجهه الجانبية مثلثات. في الهرم الرباعي القائم ذي القاعدة المربعة تتطابق الأوجه الجانبية الأربعة. مساحة كل وجه = (ضلع القاعدة × الارتفاع الجانبي) ÷ ٢، والارتفاع الجانبي هو ارتفاع المثلث نفسه، من الرأس إلى منتصف ضلع القاعدة.

بقي سطح الأسطوانة. قاعدتاها دائرتان، أما جانبها المنحني فإذا قصصته بخط مستقيم وفردته صار مستطيلًا. عرض هذا المستطيل هو ارتفاع الأسطوانة، وطوله هو محيط القاعدة، لأنه كان ملفوفًا حولها. هذه الأسطوانة السابقة نفسها (نق = ٣، ع = ٧) مفرودة:

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع = ٢ × ط × نق × ع. والمساحة الكلية للأسطوانة المغلقة = المساحة الجانبية + مساحتا القاعدتين = ٢ط نق ع + ٢ط نق². حدّد المطلوب قبل الحساب: الجانبية فقط، أم معها قاعدة واحدة كما في الكوب المفتوح، أم معها القاعدتان.

صورة الفرد تشرح أيضًا سؤالًا يتكرر كثيرًا. إذا لففت ورقة مستطيلة لتصنع منها أسطوانة، فالمساحة الجانبية هي مساحة الورقة نفسها، في أي اتجاه لففتها.