التكافؤ والاستنتاج

المتطابقة صحيحة لكل قيم المتغيرات.

أما الشرط المعطى، مثل س + ص = ٧، فخاص بعددي السؤال.

لذلك تعوّض الشرط في المتطابقة، فتصل إلى المطلوب دون أن تجد العددين.

المتطابقات الثلاث:

(أ + ب)² = أ² + ٢أب + ب²

(أ − ب)² = أ² − ٢أب + ب²

أ² − ب² = (أ + ب)(أ − ب)

من المجموع وحاصل الضرب تحصل على:

أ² + ب² = (أ + ب)² − ٢أب

(أ − ب)² = (أ + ب)² − ٤أب

ومن الفرق وحاصل الضرب تحصل على:

(أ + ب)² = (أ − ب)² + ٤أب

إذا أُعطيت المجموع والفرق فاضربهما لتحصل على أ² − ب²، أو جد العددين بالجمع والطرح.

والقوة الرابعة فرق مربعين: س⁴ − ص⁴ = (س² − ص²)(س² + ص²).

مربع أي كمية يعطيك قيمتين متعاكستين في الإشارة، إلا إذا كان المربع صفرًا.

إذا كان حاصل الضرب سالبًا فعوّضه بإشارته بين قوسين.

تساوي تعبيرين عند قيمة واحدة لا يثبت أنهما متكافئان.

أما قيمة واحدة يختلفان عندها، وتسمّى مثالًا مضادًا، فتكفي لنفي التكافؤ.

مثال ذلك: (س + ٢)² لا تساوي س² + ٤، لأن س = ١ تعطي ٩ في الأول و٥ في الثاني.

ولا تقسم طرفي معادلة على تعبير قد يساوي صفرًا، لأنك تُضيّع بعض الحلول.

في س² = ٥س انقل الحدود إلى طرف واحد وحلّل: س(س − ٥) = ٠، فيكون س = ٠ أو س = ٥.

ابدأ بالفرق بين نوعين من الجمل. الجملة س + ٣ = ٥ معادلة، وهي تصح لقيمة واحدة فقط هي س = ٢. أما الجملة ٢(س + ٣) = ٢س + ٦ فمتطابقة، وهي تصح لأي عدد تعوّضه مكان س. وحين يتساوى تعبيران لكل القيم نقول إنهما متكافئان.

كيف تحكم على تعبيرين: هل هما متكافئان؟ تساويهما عند قيمة واحدة لا يثبت شيئًا، فقد يكون ذلك مصادفة. أما قيمة واحدة يختلفان عندها فتكفي لنفي التكافؤ، وتسمّى مثالًا مضادًا.

وللسبب نفسه لا تقسم طرفي معادلة على تعبير قد يساوي صفرًا، لأن هذه القسمة تُفقد المعادلة بعض حلولها فلا تبقى مكافئة للمعادلة الأصلية.

بعد أن عرفت أن المتطابقة صحيحة لكل القيم، تأتي فائدتها في أسئلة القدرات. يعطيك السؤال مثلًا مجموع عددين وحاصل ضربهما، ويطلب شيئًا ثالثًا. والمتطابقة هي الجسر بين المعطى والمطلوب. أولها مربع المجموع.

مربع المجموع: (أ + ب)² = أ² + ٢أب + ب². تخيّل مربعًا طول ضلعه أ + ب، وقسّمه كما في الرسم. ستجد داخله مربعًا مساحته أ²، ومربعًا مساحته ب²، ومستطيلين مساحة كل منهما أب.

انظر إلى الرسم: (أ + ب)² لا يساوي أ² + ب²، لأن المستطيلين أب جزء من المربع الكبير. وإذا نقلت الحد الأوسط إلى الطرف الآخر حصلت على الصيغة الأكثر استعمالًا في الأسئلة: أ² + ب² = (أ + ب)² − ٢أب. معنى ذلك أنك إذا عرفت المجموع وحاصل الضرب عرفت مجموع المربعين دون أن تجد العددين.

وانتبه إلى الفرق بين ما يعطيك السؤال وبين المتطابقة. الجملة س + ص = ٧ شرط خاص بالعددين في هذا السؤال. أما المتطابقة فصحيحة لأي عددين، ولهذا يجوز أن تعوّض فيها الشرط المعطى.

بقي أن تعرف ماذا يحدث حين يكون المعطى فرق العددين لا مجموعهما. مربع الفرق يشبه مربع المجموع، والاختلاف في إشارة الحد الأوسط وحدها: (أ − ب)² = أ² − ٢أب + ب².

قارن الصيغتين: كلتاهما تحتوي أ² + ب²، والفرق بينهما في ٢أب فقط، مرة بالجمع ومرة بالطرح. فالكميات الثلاث تقع على سُلَّم واحد، وبين كل درجة والتي تليها ٢أب.

من السُّلَّم تقرأ مباشرة: (أ − ب)² = (أ + ب)² − ٤أب، وبالعكس (أ + ب)² = (أ − ب)² + ٤أب. فإذا عرفت المجموع وحاصل الضرب عرفت مربع الفرق، وإذا عرفت الفرق وحاصل الضرب عرفت مربع المجموع.

حين تحصل على مربع كمية فللكمية قيمتان متعاكستان في الإشارة، وفي الغالب لا يظهر بين الخيارات إلا إحداهما. وإذا كان المربع صفرًا فالقيمة واحدة فقط هي الصفر.

وأحيانًا يعطيك السؤال المجموع والفرق معًا، ويطلب فرق المربعين أو قوى أعلى. لهذا متطابقة ثالثة: أ² − ب² = (أ + ب)(أ − ب). والرسم يبيّن السبب: اقطع من مربع مساحته أ² مربعًا صغيرًا مساحته ب²، ثم أعد ترتيب القطعتين الباقيتين، فتحصل على مستطيل بُعداه أ + ب وأ − ب.

إذا أعطاك السؤال المجموع والفرق فإيجاد العددين سريع بالجمع والطرح، فلا تتردد في ذلك. أما إذا أعطاك المجموع وحاصل الضرب فالمتطابقة أسرع من البحث عن العددين. في كل سؤال ابدأ بتحديد المعطى والمطلوب، ثم اكتب المتطابقة التي تجمعهما، ثم عوّض.