الأنماط المركبة والدورية

إذا لم يثبت الفرق فاكتب صف الفروق وابحث عن نمط فيه. قد يزيد بمقدار ثابت، وقد يتضاعف.

إذا كبرت الحدود بسرعة فجرّب قاعدة من عمليتين، مثل × ٢ ثم + ١، وتحقّق منها على كل الحدود.

إذا تذبذبت الفروق صعودًا وهبوطًا فافصل المواضع الفردية عن الزوجية، وافحص كل متتابعة وحدها.

في النمط المبني صفًا بعد صف يكون الطرفان ١، وكل خانة داخلية مجموع الخانتين فوقها. ومجموع كل صف ضعف مجموع الصف الذي قبله.

في النمط الدوري حدّد الدورة وعدّ عناصرها.

اقسم رقم الموضع على طول الدورة، فالباقي هو موضع العنصر في الدورة.

الباقي صفر يعني آخر عنصر في الدورة، لا أولها.

لعدّ مرات ظهور عنصر: اضرب مرات ظهوره في الدورة الواحدة في عدد الدورات الكاملة، ثم أضف ما يطابقه من العناصر المتبقية.

رقم آحاد القوة يتكرّر في دورة، ويحدّده آحاد الأساس وحده.

كوّن الدورة بضرب الآحاد الحالي في آحاد الأساس، وخذ آحاد الناتج.

طول الدورة دائمًا ١ أو ٢ أو ٤.

تعامل مع الأس كما تتعامل مع رقم الموضع.

في مجموع قوتين أو حاصل ضربهما أوجد آحاد كل قوة وحدها، ثم اجمع أو اضرب، وخذ آحاد الناتج فقط.

أبسط نمط تعرفه هو النمط الذي يزيد بمقدار ثابت، مثل ٤، ٧، ١٠، ١٣. إذا طرحت كل حدّ من الحدّ الذي بعده وجدت ٣ دائمًا. لكن كثيرًا من أسئلة القدرات تأتي بأنماط لا يكفيها فرق ثابت، وهذا الدرس يعلّمك كيف تتعامل معها.

ابدأ بالأداة التي تعرفها: احسب الفرق بين كل حدّين متتاليين. إذا لم يكن الفرق ثابتًا فلا تتوقف. اكتب الفروق صفًا جديدًا تحت المتتابعة، ثم ابحث عن نمط في هذا الصف نفسه.

في الرسم لم يكن الفرق ثابتًا، لكن صف الفروق نفسه نمط بسيط يزيد ٢ في كل مرة. لذلك الفرق التالي ١١، والحدّ التالي ٢٦ + ١١ = ٣٧. وقد يتغيّر صف الفروق بالمضاعفة بدل الزيادة، كما في المثال الآتي.

إذا كبرت الحدود بسرعة حتى كادت تتضاعف، فجرّب قاعدة مركّبة من عمليتين: اضرب في عدد، ثم أضف عددًا أو اطرحه. وتحقّق من القاعدة على كل الحدود المعطاة، لا على أول حدّين فقط.

قد تحسب الفروق أحيانًا فتجدها تقفز صعودًا وهبوطًا بلا ترتيب. هذه علامة على أن أمامك متتابعتين متداخلتين: حدود المواضع الفردية (الأول والثالث والخامس...) تتبع قاعدة، وحدود المواضع الزوجية تتبع قاعدة أخرى.

خذ مثلًا المتتابعة ٢، ٢٠، ٤، ١٧، ٦، ١٤. فروقها ١٨، −١٦، ١٣، −١١، ٨، ولا نمط فيها. لكن إذا فصلتها إلى متتابعتين ظهرت القاعدتان فورًا.

قد تختلف المتتابعتان في نوع القاعدة نفسها، فتكون إحداهما بالجمع والأخرى بالضرب. لذلك افحص كل متتابعة وحدها كأنها سؤال مستقل.

هناك أيضًا أنماط تُبنى صفًا بعد صف لا حدًّا بعد حدّ. والقاعدة الشائعة فيها أن كل عدد داخلي في الصف الجديد يساوي مجموع العددين المجاورين فوقه، ويبقى العدد في كل طرف ١.

لماذا يتضاعف المجموع؟ لأن كل عدد في الصف يشارك في بناء خانتين من الصف التالي، واحدة عن يمينه وأخرى عن يساره، فيُحسب مرتين. هذه الملاحظة طريقة سريعة للتحقق من إجابتك.

ننتقل الآن إلى نوع مختلف: نمط لا يكبر ولا يصغر، بل يكرّر مجموعة ثابتة من العناصر مرة بعد مرة. تسمّى هذه المجموعة الدورة، ويسمّى عدد عناصرها طول الدورة. أول خطوة دائمًا أن تحدّد الدورة وتعدّ عناصرها.

لاحظ في الرسم أن كل دورة كاملة تنتهي عند موضع من مضاعفات ٣، أي ٣ و٦ و٩. لذلك إذا قسمت رقم الموضع على طول الدورة، فإن ناتج القسمة هو عدد الدورات الكاملة قبله، والباقي هو عدد الخطوات التي تمشيها في الدورة الجديدة.

وإذا كان الباقي صفرًا؟ معنى ذلك أن الموضع يقع بالضبط عند نهاية دورة كاملة، فهو آخر عنصر في الدورة لا أولها. في الرسم السابق باقي المواضع ٣ و٦ و٩ صفر، وكلها مثلث.

قد يسألك السؤال عن عدد مرات ظهور عنصر، لا عن موضعه. اضرب عدد مرات ظهوره في الدورة الواحدة في عدد الدورات الكاملة، ثم انظر إلى العناصر المتبقية بعد آخر دورة كاملة، وأضف ما فيها من هذا العنصر.

تظهر الدورات أيضًا في موضع قد لا تتوقعه: رقم الآحاد لقوى العدد. لا يمكنك حساب ٧³⁴ كاملًا، لكنك لا تحتاج إلا إلى رقم آحاده، ورقم الآحاد يتكرّر في دورة.

السبب أن رقم آحاد حاصل الضرب يعتمد على رقمي آحاد العددين المضروبين فقط. مثلًا ٤٧ × ٤٧ = ٢٢٠٩، وآحاده ٩، وهو آحاد ٧ × ٧ = ٤٩ نفسه. لذلك تكفي لإيجاد آحاد القوة التالية أن تضرب الآحاد الحالي في آحاد الأساس، ثم تأخذ آحاد الناتج.

تعامل الآن مع الأس كما تعاملت مع رقم الموضع: اقسمه على طول الدورة، فيحدّد الباقي العنصر المطلوب، والباقي صفر يعني آخر عنصر في الدورة.

ليست كل الدورات بطول ٤. في الجدول الآتي دورات الأرقام العشرة كلها. لا تحتاج إلى حفظه، فأنت تستطيع بناء أي دورة في ثوانٍ بالضرب في آحاد الأساس، لكنه يريك أن طول الدورة دائمًا ١ أو ٢ أو ٤.

إذا جاءك مجموع قوتين، فأوجد رقم آحاد كل قوة وحدها، ثم اجمع الرقمين وخذ آحاد الناتج فقط. والطريقة نفسها في الضرب: اضرب رقمي الآحاد وخذ آحاد الناتج.