الحساب العشري

قيمة كل منزلة عُشر قيمة المنزلة التي على يسارها.

الصفر بين الفاصلة والرقم يحجز منزلة، فـ ٠٫٠٦ غير ٠٫٦.

أما الصفر في آخر الجزء العشري فلا يغيّر القيمة: ٠٫٥ = ٠٫٥٠.

في الجمع والطرح حاذِ الفواصل، لا نهايات الأعداد.

أكمل العدد الأقصر بأصفار في آخره.

واكتب العدد الصحيح بأصفار بعد الفاصلة: ١٠ − ٠٫٠٦ = ١٠٫٠٠ − ٠٫٠٦ = ٩٫٩٤، لا ٩٫٤.

عند الضرب في ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠ تنتقل الفاصلة إلى اليمين بعدد الأصفار، وعند القسمة عليها تنتقل إلى اليسار.

إن لم تكفِ الأرقام فأكمل بأصفار: ٥٦ ÷ ١٠٠٠ = ٠٫٠٥٦.

الضرب في ٠٫١ قسمة على ١٠، والضرب في ٠٫٠١ قسمة على ١٠٠.

في متتالية كل حد فيها عُشر الذي قبله، تحتاج إلى ن − ١ قسمة للوصول إلى الحد رقم ن.

لضرب عددين عشريين اضرب الأرقام بلا فواصل.

ثم اجعل للناتج عدد منازل يساوي مجموع منازل العوامل.

ضع الفاصلة أولًا، ثم احذف الصفر الأخير إن وُجد.

في القوى يتضاعف عدد المنازل: ٠٫٥³ = ٠٫١٢٥.

في القسمة على عدد عشري اضرب المقسوم والمقسوم عليه كليهما في ١٠ أو ١٠٠ حتى يصير المقسوم عليه صحيحًا.

ثم اقسم، وضع فاصلة الناتج فوق فاصلة المقسوم.

قدّر حجم الناتج قبل أن تعتمده.

الضرب في عدد بين ٠ و١ يصغّر العدد الموجب، والقسمة عليه تكبّره: ٦ ÷ ٠٫٢٥ = ٢٤.

ومع الأعداد السالبة ينقلب هذا الحكم.

العدد العشري عدد صحيح تتبعه أجزاء. تفصل الفاصلة العشرية بين الجزأين: قبلها الآحاد والعشرات والمئات، وبعدها الأعشار ثم أجزاء المئة ثم أجزاء الألف.

قيمة كل منزلة عُشر قيمة المنزلة التي على يسارها. الدرس كله مبني على هذه الفكرة، فالجمع والطرح والضرب والقسمة ترجع كلها إليها.

انظر إلى الصفر في منزلة أجزاء المئة. يبدو بلا قيمة، لكنه يحجز المكان حتى يبقى الرقم ٨ في منزلة أجزاء الألف. لو حذفته لصار العدد ٣٥٫٢٨، وهو عدد آخر.

أما الصفر في آخر الجزء العشري فلا يغيّر القيمة. فالأعداد ٠٫٥ و ٠٫٥٠ و ٠٫٥٠٠ عدد واحد، لأن الصفر المضاف لم ينقل أي رقم عن منزلته. ستحتاج هذه الحيلة في الجمع والطرح.

لكل رقم منزلة، فالجمع أن تجمع كل منزلة مع مثيلتها: الأعشار مع الأعشار، وأجزاء المئة مع أجزاء المئة. لذلك تكتب الأعداد بعضها تحت بعض بحيث تتحاذى الفواصل، لا بحيث تتحاذى نهايات الأعداد.

إذا اختلف عدد المنازل بين الأعداد، فأكمل الأقصر بأصفار في آخره حتى تتساوى المنازل. ثم اجمع كما تجمع الأعداد الصحيحة، وضع فاصلة الناتج تحت الفواصل.

الطرح يسير بالقاعدة نفسها. لكن انتبه حين تطرح عددًا عشريًا من عدد صحيح، فالعدد الصحيح لا تظهر منازله العشرية. اكتبه أولًا بأصفار بعد الفاصلة بعدد منازل المطروح.

ويمكنك أن تفكر في المسألة هكذا: ٣٫٠٠٠ تعني ٣٠٠٠ جزء من ألف، وأنت تطرح منها جزأين من ألف، فيبقى ٢٩٩٨ جزءًا من ألف، أي ٢٫٩٩٨. الناتج أقل من ٣ بقليل جدًا، وهذا منطقي لأن ما طرحته صغير جدًا.

ننتقل الآن إلى الضرب، ونبدأ بأبسط حالاته: الضرب في ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠. هذه الحالة ترجع مباشرة إلى فكرة المنازل. عند الضرب في ١٠ تصير قيمة كل رقم عشرة أضعاف ما كانت، فينتقل كل رقم منزلة واحدة إلى اليسار. والأسهل أن ترى ذلك على أنه انتقال للفاصلة منزلة واحدة إلى اليمين.

عدد الأصفار في ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠ هو عدد المنازل التي تنتقلها الفاصلة: إلى اليمين في الضرب، وإلى اليسار في القسمة. وإذا لم تكفِ الأرقام فأكمل بأصفار.

والضرب في ٠٫١ هو نفسه القسمة على ١٠، والضرب في ٠٫٠١ هو نفسه القسمة على ١٠٠، لأن ٠٫١ عُشر واحد و ٠٫٠١ جزء واحد من مئة.

تظهر هذه الفكرة في المتتاليات التي يكون فيها كل حد عُشر الحد الذي قبله: في كل حد جديد تنتقل الفاصلة منزلة واحدة إلى اليسار. وللوصول إلى الحد رقم ن تحتاج ن − ١ قسمة فقط، لأن الحد الأول لا يحتاج أي قسمة.

تستطيع الآن أن تضرب أي عددين عشريين. كل عدد عشري هو عدد صحيح مقسوم على قوة للعشرة: ٠٫٣ = ٣ ÷ ١٠، و ٠٫٢ = ٢ ÷ ١٠. لذلك ٠٫٣ × ٠٫٢ = ٦ ÷ ١٠٠ = ٠٫٠٦.

ومن هنا تأتي الطريقة: اضرب الأرقام كأنها أعداد صحيحة متجاهلًا الفواصل، ثم اجمع عدد المنازل العشرية في العوامل كلها، واجعل للناتج هذا العدد من المنازل. عُدّ المنازل من آخر الناتج، وأكمل بأصفار من جهة اليسار إن لم تكفِ الأرقام. لا حاجة هنا إلى محاذاة الفواصل.

القوة ضرب متكرر، فعدد منازل الناتج يتضاعف معها: ٠٫٥² لها منزلتان، و ٠٫٥³ لها ثلاث منازل.

قبل أن تعتمد موضع الفاصلة، قدّر حجم الناتج. الضرب في عدد بين ٠ و١ يصغّر العدد الموجب، لذلك حاصل ضرب عددين موجبين كلٌّ منهما بين ٠ و١ أصغر من كليهما. وتربيع العدد أو تكعيبه إذا كان بين ٠ و١ (دون الصفر) يعطي عددًا أصغر منه، فمثلًا ٠٫٥³ = ٠٫١٢٥ أصغر من ٠٫٥.

هذا الحكم خاص بالأعداد الموجبة، ومع السالبة ينقلب. فمثلًا (−٠٫٥)² = ٠٫٢٥ أكبر من −٠٫٥، و −٤ × ٠٫٥ = −٢ أكبر من −٤. ومع الصفر لا يتغير شيء: ٠² = ٠.

بقيت القسمة، وهي عكس الضرب. إذا كان المقسوم عليه عددًا صحيحًا فاقسم كالمعتاد، وضع فاصلة الناتج فوق فاصلة المقسوم مباشرة. مثال ذلك ٧٫٢ ÷ ٣ = ٢٫٤، لأن ٧٢ ÷ ٣ = ٢٤ وفي المقسوم منزلة عشرية واحدة.

أما إذا كان المقسوم عليه عشريًا فحوّله إلى عدد صحيح: اضرب المقسوم والمقسوم عليه كليهما في ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠ حسب عدد منازل المقسوم عليه. القسمة تسأل: كم مرة يتسع المقسوم عليه في المقسوم؟ وهذا العدد لا يتغير إذا كبّرت العددين بالقدر نفسه.

والقسمة على عدد بين ٠ و١ تكبّر العدد الموجب، لأنك تسأل كم قطعة صغيرة تتسع فيه. القسمة على ٠٫٥ مثل الضرب في ٢، والقسمة على ٠٫٢٥ مثل الضرب في ٤.