مربع مجموع أو فرق

تربيع كل حد وحده خطأ: (س + ص)² لا تساوي س² + ص²، فهي ينقصها حد أوسط هو ٢سص.

التوسيع ثلاث خطوات: مربع الأول، ثم ضعف حاصل ضرب الحدّين، ثم مربع الثاني.

في (س − ص)² تصبح إشارة الحد الأوسط وحده سالبة، ويبقى الحد الأخير موجبًا.

تربيع عدد قريب من ١٠٠: ٩٨² = (١٠٠ − ٢)² = ١٠٠٠٠ − ٤٠٠ + ٤ = ٩٦٠٤

المقارنة: إذا كان العددان موجبين، فمربع مجموعهما يزيد على مجموع مربعيهما بمقدار ٢ × حاصل ضربهما. لذلك ٥٠² تزيد على ٣٥² + ١٥² بمقدار ١٠٥٠.

الجمع والطرح: (س + ص)² + (س − ص)² = ٢س² + ٢ص²، و(س + ص)² − (س − ص)² = ٤سص.

إذا أُعطيت المجموع وحاصل الضرب فلا تبحث عن العددين:

س² + ص² = (س + ص)² − ٢سص

(س − ص)² = (س + ص)² − ٤سص

في الاتجاه العكسي يكون المقدار الثلاثي مربعًا كاملًا بثلاثة شروط: الحد الأول مربع، والحد الأخير مربع موجب، والحد الأوسط يساوي ٢ × جذر الأول × جذر الأخير.

إشارة الحد الأوسط تحدد القوس: الموجبة مجموع، والسالبة فرق.

إذا جاء المقدار في صورة كلامية فترجم كل عبارة إلى حد أولًا.

تربيع العدد يعني ضربه في نفسه: ٧² = ٧ × ٧. وبالمثل فإن (س + ٣)² تعني (س + ٣) × (س + ٣). السؤال هو: هل يكفي أن تربّع كل حد وحده فتكتب س² + ٣²؟

من أين تأتي هذه الـ ١٢؟ ارسم مربعًا طول ضلعه ٥، وقسّم كل ضلع إلى جزأين: ٣ و٢.

المساحة كلها ٢٥، وتتكوّن من أربع قطع. المربعان ٩ و٤ هما ٣² و٢². أما المستطيلان فمساحة كل منهما ٣ × ٢، ومجموعهما ٢ × ٣ × ٢ = ١٢، وهما الجزء الذي يضيع حين تربّع كل حد وحده.

ضع مكان ٣ و٢ أي حدّين س و ص، فيتكرر الشكل نفسه: مربع مساحته س²، ومربع مساحته ص²، ومستطيلان مساحة كل منهما سص. هذه هي متطابقة مربع المجموع: (س + ص)² = س² + ٢سص + ص². طبّقها في ثلاث خطوات: مربع الأول، ثم ضعف حاصل ضرب الأول في الثاني، ثم مربع الثاني.

ماذا لو كان بين الحدّين طرح؟ اكتب (س − ص)² على صورة (س + (−ص))²، أي مربع مجموع حدّين ثانيهما −ص، ثم طبّق الخطوات الثلاث نفسها.

مربع الأول: س². ضعف حاصل الضرب: ٢ × س × (−ص) = −٢سص. مربع الثاني: (−ص)² = ص²، وهو موجب لأن ضرب السالب في السالب موجب. إذن (س − ص)² = س² − ٢سص + ص².

إذا كان الحد يحتوي على معامل، مثل ٢س، فربّع الحد كله بمعامله، لا الرمز وحده.

المتطابقة لا تخص الرموز وحدها؛ فهي أداة سريعة لتربيع عدد قريب من عدد سهل مثل ١٠٠، دون ضرب طويل. فكّك العدد إلى مجموع أو فرق، ثم طبّق الخطوات الثلاث.

في أسئلة المقارنة يظهر غالبًا مجموع مربعين في جهة، ومربع مجموع في الجهة الأخرى. تذكّر رسم المربع: مربع المجموع يساوي المربعين الصغيرين ومعهما المستطيلان. فإذا كان العددان موجبين كان مربع المجموع أكبر دائمًا، ويزيد بمقدار ٢ × حاصل ضربهما بالضبط.

وحين يجتمع مربع مجموع ومربع فرق لنفس الحدّين في مقدار واحد، تذكّر أن الحد الأوسط +٢سص في أحدهما و−٢سص في الآخر. عند الجمع يختفي الحدان الأوسطان، وعند الطرح يختفي المربعان.

حتى الآن كنت تفكّ القوس إلى ثلاثة حدود. لكن أسئلة كثيرة تطلب العكس: تعطيك ثلاثة حدود وتسألك: مربع أي قوس هذا؟

يكون المقدار الثلاثي مربعًا كاملًا إذا تحققت ثلاثة شروط: الحد الأول مربع، والحد الأخير مربع موجب، والحد الأوسط يساوي ٢ × جذر الأول × جذر الأخير. بعد ذلك تحدّد إشارة الحد الأوسط نوع القوس: الموجبة تعني مجموعًا، والسالبة تعني فرقًا.

وقد يأتي المقدار في صورة كلامية، فترجم كل عبارة إلى حد، ثم طابق الناتج بالمتطابقة.

بقي استعمال شائع أخير: يعطيك السؤال مجموع عددين وحاصل ضربهما، ويطلب مجموع مربعيهما أو مربع الفرق بينهما. لا تحاول إيجاد العددين، بل أعد ترتيب المتطابقة.

من (س + ص)² = س² + ٢سص + ص² تحصل على: س² + ص² = (س + ص)² − ٢سص. وبما أن مربع الفرق يقلّ عن مربع المجموع بمقدار ٤سص، فإن: (س − ص)² = (س + ص)² − ٤سص.