الفرق بين مربعين

فرق المربعين حدّان كل منهما مربع كامل، وبينهما إشارة طرح.

يتحلل إلى مجموع الجذرين مضروبًا في فرقهما:

س² − ص² = (س + ص)(س − ص).

خذ جذر كل حد كاملًا مع معامله: ٩س² − ٢٥ = (٣س − ٥)(٣س + ٥).

القاعدة للطرح فقط، فمجموع المربعين س² + ص² لا يتحلل بها.

في القدرات تستعملها في ثلاثة مواضع:

الحساب السريع: لا تربّع العددين، بل اجمعهما واطرحهما ثم اضرب الناتجين.

الكسور: حلّل البسط أولًا، ثم اختصر العامل المشترك مع المقام.

المعطيات الناقصة: فرق المربعين حاصل ضرب عاملاه المجموع والفرق. إن عرفت العاملين فاضربهما، وإن عرفت حاصل الضرب وأحد العاملين فاقسم.

إن جاء المعطى في صورة أخرى مثل س² = ص² + ٤٠، فاكتبه أولًا س² − ص² = ٤٠.

فرق المربعين عدد مربع نطرح منه عددًا مربعًا آخر، مثل ٢٥ − ٩ أو س² − ص². الخطوة الأولى دائمًا أن تعرف جذر كل حد. في ٢٥ − ٩ الجذران هما ٥ و٣، وفي س² − ص² هما س وص.

القاعدة تقول: س² − ص² = (س + ص)(س − ص). جرّبها على الأعداد: ٢٥ − ٩ = ١٦، و(٥ + ٣)(٥ − ٣) = ٨ × ٢ = ١٦. النتيجة واحدة.

لماذا تصح القاعدة دائمًا؟ اضرب (س + ص) في (س − ص)، أي اضرب كل حد في القوس الأول في كل حد في القوس الثاني. ستحصل على أربعة حدود، اثنان منها متعاكسان فيلغي أحدهما الآخر.

ويمكنك أن ترى القاعدة بعينك بالمساحات: مربع ضلعه س نقصّ من ركنه مربعًا ضلعه ص. نعيد ترتيب ما بقي فيتكوّن مستطيل بعداه (س + ص) و(س − ص).

بعد أن فهمت لماذا تصح القاعدة، إليك أول استعمالاتها في القدرات: الحساب السريع. إذا طُلب منك فرق مربعين لعددين كبيرين، فلا تربّع أيًّا منهما. اجمع العددين، واطرحهما، ثم اضرب الناتجين.

الاستعمال الثاني هو الكسور. كثيرًا ما يأتي في السؤال كسر بسطه فرق مربعين ومقامه أحد عاملَي هذا الفرق. حلّل البسط أولًا، فيظهر العامل نفسه في البسط والمقام فتختصره، ولا يبقى إلا العامل الآخر.

الاختصار يكون للعوامل المضروبة لا للحدود المطروحة. لا يجوز أن تشطب ٧٥² مع ٧٥ مباشرة، بل يجب أن تحلّل البسط إلى حاصل ضرب قبل أي اختصار.

الاستعمال الثالث هو الأكثر ورودًا في القدرات: معطيات ناقصة. في القاعدة ثلاث كميات: الفرق س² − ص²، والمجموع س + ص، والفرق س − ص. إذا عرفت اثنتين منها وجدت الثالثة دون أن تعرف س وص. إن عرفت العاملين فاضربهما، وإن عرفت حاصل الضرب وأحد العاملين فاقسم.

أحيانًا يُخفي السؤال فرق المربعين في صورة أخرى، مثل س² = ص² + ٤٠ أو س² − ٤٠ = ص². اجمع المربعين في طرف واحد أولًا حتى تظهر الصورة س² − ص² = عدد، ثم طبّق الطريقة نفسها.

كل ما سبق يبدأ بخطوة واحدة: أن تتعرّف على فرق المربعين حين تراه. ابحث عن حدين بينهما إشارة طرح، وكل منهما مربع كامل. ثم خذ جذر كل حد كاملًا، ومعه معامله إن وُجد.

انتبه إلى الإشارة: القاعدة للطرح فقط. مجموع المربعين س² + ص² لا يتحلل بهذه الطريقة. بالأعداد: ٥² + ٣² = ٣٤، أما (٥ + ٣)(٥ − ٣) فيساوي ١٦.

ولا تخلط فرق المربعين س² − ص² بمربع الفرق (س − ص)². الأول مربع كبير نزيل منه مربعًا صغيرًا. الثاني مربع ضلعه الفرق نفسه، وقيمته س² − ٢سص + ص². الرسم يبيّن الفرق بين الاثنين بالعددين ٥ و٣.