المحيط الخطي

المحيط طول يُقاس بالسنتيمتر أو المتر، لا بوحدات مربعة.

قد يتساوى محيطا شكلين وتختلف مساحتاهما.

في المضلع اجمع أضلاعه.

المربع = ٤ × الضلع.

المثلث المتطابق الأضلاع = ٣ × الضلع.

المستطيل = ٢ × (الطول + العرض).

لإيجاد ضلع ناقص في المستطيل: اقسم المحيط على ٢، ثم اطرح البعد المعلوم.

في المربع: الضلع = المحيط ÷ ٤.

في الشكل المركّب امشِ على الحد الخارجي وحده.

استنتج كل ضلع غير مكتوب من الضلع المقابل له.

الشكل القائم الزوايا المقطوع من أركانه أو المدرّج محيطه = محيط المستطيل المحيط به.

الفجوة في منتصف ضلع تضيف ٢ × عمقها.

الأضلاع المشتركة بين أشكال ملصقة داخلية فلا تُحسب.

صف من ن طاولة مربعة له ٢ن + ٢ ضلعًا خارجيًا.

إن تلامست الأشكال في رؤوسها فقط فكل أضلاعها خارجية.

في المسار المفتوح اجمع قطعه المرسومة فقط، ولا تُغلقه.

في مسار الدرج: مجموع القطع الأفقية = المسافة الأفقية بين طرفيه، ومجموع الرأسية = المسافة الرأسية.

تخيّل نملة تمشي على حافة شكل حتى تعود إلى النقطة التي بدأت منها. طول الطريق الذي قطعته هو محيط الشكل. فالمحيط طول، يُقاس بالسنتيمتر أو المتر، ولا يتأثر بما في داخل الشكل.

أما المساحة فهي ما يغطيه الشكل من الداخل، وتُقاس بوحدات مربعة. المحيط كسياج الحديقة، والمساحة كالعشب داخلها. لذلك قد يتساوى محيطا شكلين وتختلف مساحتاهما.

أبسط حالة أن يكون أمامك مضلع تعرف كل أضلاعه، فمحيطه مجموع أضلاعه. وإذا تساوت أضلاع اختصرت الجمع بالضرب: محيط المربع = ٤ × الضلع، ومحيط المثلث المتطابق الأضلاع = ٣ × الضلع، ومحيط المستطيل = ٢ × (الطول + العرض).

في المستطيل يتكرر كل ضلع مرتين، فالطول والعرض معًا نصف الدورة بالضبط. احفظ هذه العلاقة: الطول + العرض = نصف المحيط، فهي مفتاح إيجاد الضلع الناقص.

إذا أعطاك السؤال المحيط وطلب ضلعًا، فاعكس العملية. في المربع: الضلع = المحيط ÷ ٤. وفي المستطيل: اقسم المحيط على ٢ أولًا، ثم اطرح منه البعد المعلوم.

قد تأتي الأبعاد كسورًا مختلطة، والطريقة هي نفسها: تأخذ نصف المحيط أولًا، ثم توحّد المقامات قبل الطرح، وتستلف واحدًا إن كان الكسر المطروح أكبر.

كثيرًا ما يكون المحيط بداية السؤال لا نهايته: تستخرج منه طول الضلع، ثم تحسب به المطلوب، سواء كان محيط جزء أو مساحته.

وإذا تكوّن الشكل من قطع متطابقة، كدوائر أو مربعات صغيرة مرصوصة، فعبّر عن كل بُعد بعدد هذه القطع، ثم اكتب المحيط بدلالة القطعة الواحدة. الدائرة التي تمسّ جارتها تشغل قطرًا كاملًا في الطول وقطرًا كاملًا في العرض.

ننتقل الآن إلى الأشكال المركّبة، وهي أشكال غير منتظمة تتكوّن من عدة أجزاء. القاعدة لا تتغير: تمشي على الحد الخارجي وحده دورة كاملة. الصعوبة الجديدة أن بعض القطع لا يُكتب طولها، فتستنتجه من الضلع المقابل له.

لاحظ أن ٤٢ = ٢ × (١٢ + ٩)، وهو محيط المستطيل الذي يحيط بالشكل. هذا ليس مصادفة. إذا قُطع جزء من ركن مستطيل، أو كان الشكل على هيئة درج، فالقطع الأفقية العليا مجتمعة تساوي القاعدة، والقطع الرأسية مجتمعة تساوي الضلع المقابل. فمحيط الشكل يساوي محيط المستطيل المحيط به، ولا تحتاج إلى حساب أي ضلع مجهول.

لكن انتبه إلى الفرق بين قطع الركن والفجوة في منتصف الضلع. في الفجوة يعوّض قاعها الجزء المقطوع من الضلع، فلا يتغير مجموع القطع الأفقية. أما جداراها فطولان جديدان لا يقابلهما شيء في المستطيل. لذلك: المحيط = محيط المستطيل + ٢ × عمق الفجوة.

رأيت أن خطوط القطع داخل المربع لا تدخل في محيطه. والأمر نفسه يحدث في الاتجاه المعاكس، أي حين نُلصق أشكالًا بعضها ببعض: الضلع الذي يلتصق عنده شكلان يصبح داخليًا، فلا يمرّ عليه من يدور حول الشكل ولا يدخل في المحيط.

أما إذا تلامست الأشكال في رؤوسها فقط دون أي ضلع مشترك، فكل أضلاعها تبقى على الحد الخارجي، ومنها القواعد الواقعة على مستقيم واحد.

الفكرة نفسها تحلّ مسائل العدّ، مثل الجلوس حول طاولات متلاصقة: لا يجلس أحد عند ضلع مشترك، فتعدّ الأضلاع الخارجية فقط. في صف من ن طاولة مربعة يوجد ن ضلعًا في الأعلى، ون ضلعًا في الأسفل، وضلعان في الطرفين، فعدد الأضلاع الخارجية ٢ن + ٢.

كل ما سبق حدود مغلقة تعود إلى نقطة البداية. بقي المسار المفتوح، وهو طريق له بداية ونهاية مختلفتان، كسلك ممدود أو طريق يمشيه شخص من نقطة إلى أخرى. طوله مجموع قطعه المرسومة فقط، فلا تُضف إليه قطعة تعيده إلى البداية.

وحيلة الدرج تنفعك هنا أيضًا. في مسار يتحرك أفقيًا ورأسيًا فقط، وفي اتجاه واحد دائمًا (يمينًا وأعلى مثلًا)، مجموع قطعه الأفقية يساوي المسافة الأفقية بين طرفيه، ومجموع قطعه الرأسية يساوي المسافة الرأسية بينهما.