الجزء والكل والباقي

الكسر جزء من كلٍّ محدد، فاسأل دائمًا: كسر من ماذا؟

لإيجاد الجزء: اقسم الكل على المقام، ثم اضرب في البسط.

لاسترجاع الكل من جزء معلوم: اقسم الجزء على البسط، ثم اضرب في المقام.

إذا أُعطيت كسر جزء وسُئلت عن الجزء الآخر، فكسر الآخر = ١ − الكسر المعطى.

عبارة «ثلثه» أو «ربعه» تعود إلى الكل الأصلي، فاحسب كل الكسور منه.

مثلًا: ثلث ٩٠٠ هو ٣٠٠ وربعه ٢٢٥، فالباقي ٣٧٥.

أما «ربع الباقي» فالباقي بعد الخطوة السابقة يصبح الكل الجديد.

في الكسور المتتابعة من الباقي اضرب كسور الباقي ولا تطرح الكسور من الأصل: ٢/٣ × ٣/٤ = ١/٢ المبلغ.

إن لم يُعطَ مبلغ فافترض عددًا يقبل القسمة على كل المقامات.

وإن أُعطي الباقي الأخير فأوجد كسره بالضرب، ثم استرجع الكل.

مثلًا: أنفق رجل خُمس ماله ثم نصف الباقي، فبقي معه ٤٨ ريالًا. الباقي كسره ٤/٥ × ١/٢ = ٢/٥، فالمال = ٤٨ ÷ ٢ × ٥ = ١٢٠ ريالًا.

الكسر وحده لا يدل على عدد محدد. فـ ٣/٥ من ٤٠ عدد، و٣/٥ من ١٠٠ عدد آخر. الكسر دائمًا جزء من كلٍّ معيّن، لذلك اسأل أولًا: ما الكل الذي يعود إليه هذا الكسر؟

لإيجاد ٣/٥ من ٤٠، قسّم الأربعين إلى ٥ أجزاء متساوية، فالمقام يحدد عدد الأجزاء. يكون كل جزء ٨. ثم خذ ٣ أجزاء منها، فالبسط يحدد عدد ما تأخذ: ٣ × ٨ = ٢٤.

هذه الخطوات هي ضرب الكل في الكسر: الجزء = الكل × الكسر. اقسم على المقام أولًا ثم اضرب في البسط، فتبقى الأرقام صغيرة ويسهل حسابها ذهنيًا.

كثيرًا ما يعطيك السؤال كسر جزء ويسألك عن الجزء الآخر. الكل كاملًا يساوي ١، فكسر الجزء الآخر = ١ − الكسر المعطى. احسب هذا الكسر أولًا، ثم طبّق الطريقة نفسها.

قد يذكر السؤال عدة كسور من الكل نفسه، مثل حصص أشخاص في مبلغ واحد. تُحسب كل حصة من المبلغ الكامل، والباقي هو ما لم تأخذه الحصص. ويمكنك بدلًا من ذلك أن تجمع الكسور وتطرح مجموعها من ١.

قد يكون الكل نفسه كسرًا، كأن يُسأل: ما ثلث ٢/٥؟ القاعدة لا تتغير، فكلمة «ثلث» تعني ضرب الكل في ١/٣: تضرب البسط في البسط، والمقام في المقام. أخذ ثلث الشيء يصغّره، ولذلك يكبر المقام.

كان الكل معروفًا فيما سبق وكنت تبحث عن الجزء. في كثير من الأسئلة يحدث العكس: يُعطى الجزء ويُطلب الكل. والفكرة نفسها تُقرأ بالاتجاه المعاكس.

إذا كان ٣/٧ عددٍ يساوي ٢١، فهذا يعني أن ٣ أجزاء من ٧ مجموعها ٢١. اقسم على البسط لتجد الجزء الواحد: ٢١ ÷ ٣ = ٧، ثم اضرب في المقام لتجمع الأجزاء كلها: ٧ × ٧ = ٤٩. هذا هو معنى القاعدة: الكل = الجزء ÷ الكسر، لأن القسمة على ٣/٧ هي الضرب في ٧/٣.

الخطوة الحاسمة أن تربط العدد المعطى بكسره الصحيح. قد يذكر السؤال كسر جزء ويعطيك عدد جزء آخر، وعندها احسب كسر ذلك الجزء الآخر (١ − الكسر) قبل أن تقسم.

وإذا ذُكرت عدة أجزاء بكسورها وجزء أخير بعدده، فاجمع الكسور واطرح مجموعها من ١. الناتج هو كسر الجزء الأخير، وعدده يقودك إلى الكل.

كانت الكسور كلها فيما سبق تعود إلى الكل الأصلي نفسه. لكن بعض الأسئلة تأخذ كسرًا، ثم تأخذ كسرًا آخر مما بقي، وهنا يتغير الكل في منتصف الطريق.

صياغة السؤال هي التي تحدد المرجع. عبارة «ثلث المبلغ» أو «ثلثه» تعود إلى الكل الأصلي. أما «ثلث الباقي» أو «ثلث ما تبقّى» فتعود إلى ما بقي بعد الخطوة السابقة. قبل حساب أي كسر اسأل نفسك: ثلث ماذا؟

أما إذا جاءت كلمة «الباقي» مع الكسر، فاحسب على مراحل: بعد كل خطوة يصبح الباقي هو الكل الجديد، ويُحسب الكسر التالي منه.

لاحظ أن الخطوتين في المثال تتحولان إلى عملية ضرب. بعد إنفاق الثلث يبقى ٢/٣ المبلغ، وبعد إنفاق ربع الباقي يبقى ٣/٤ منه، فالباقي الأخير = ٢/٣ × ٣/٤ = ١/٢ المبلغ. إذن في الكسور المتتابعة من الباقي اضرب كسور الباقي، ولا تطرح الكسور المذكورة من الأصل مباشرة. وإذا لم يعطك السؤال مبلغًا، فافترض عددًا يقبل القسمة على المقامات كلها وتتبّعه خطوة بخطوة.

يجتمع الاتجاهان في بعض الأسئلة: قد يُعطى الباقي الأخير ويُطلب المبلغ الأصلي. أوجد كسر الباقي الأخير بالضرب، ثم استرجع الكل كما تعلّمت في الجزء السابق.