تغير المتوسط والأوزان

المجموع = المتوسط × العدد.

حوّل كل متوسط إلى مجموع، وعدّل المجموع والعدد معًا، ثم اقسم من جديد.

إضافة قيمة أو حذفها: يتغيّر المجموع ويتغيّر العدد.

تغيير قيمة واحدة: العدد ثابت، وتغيّر المتوسط = تغيّر المجموع ÷ العدد.

وإذا زاد متوسط ٨ قيم بمقدار ٢ فقد زاد مجموعها ١٦.

زيادة كل القيم بمقدار ثابت، أو ضربها في عدد، تفعل الشيء نفسه بالمتوسط.

إذا كان عدد الأفراد مجهولًا فاكتب: المجموع الجديد = المتوسط الجديد × العدد الجديد.

المتوسط المرجّح = مجموع (القيمة × وزنها) ÷ مجموع الأوزان.

في الجدول التكراري الوزن هو التكرار، والمقام هو عدد الأفراد كلهم، لا عدد الصفوف.

عند دمج مجموعات يكون متوسط كل مجموعة هو القيمة، وعدد أفرادها هو الوزن.

والنسب المئوية تُرجَّح بالطريقة نفسها. وإن أُعطيت العلاقة بين الأعداد فقط، فافترض أعدادًا سهلة تحققها.

المتوسط الكلي يقع بين المتوسطين، وأقرب إلى المجموعة الأكبر.

وفي الاتجاه المعاكس: مجموع الجزء الباقي = المجموع الكلي − مجموع الجزء المعروف.

مثلًا: ١٠ أعداد متوسطها ١٢، ومتوسط ٤ منها ٩، فمتوسط الستة الباقية = (١٢٠ − ٣٦) ÷ ٦ = ١٤.

إن خرج الناتج كسرًا والخيارات أعداد صحيحة، فاختر الأقرب الذي يحقق شرط السؤال، وتحقّق منه بالتعويض.

تعرف أن المتوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ عددها. في هذا الدرس ستستعمل هذه العلاقة معكوسة: المجموع = المتوسط × العدد. ومعظم مسائل الدرس تُحل بثلاث خطوات: حوّل المتوسط إلى مجموع، ثم عدّل المجموع والعدد، ثم اقسم من جديد.

تخيّل المتوسط تسويةً للقيم: تعطي القيم الكبيرة من زيادتها للقيم الصغيرة حتى تتساوى كلها، والمستوى الذي تستقر عنده هو المتوسط. مثلًا الأعداد ٤ و٩ و٧ و٨ مجموعها ٢٨، ومتوسطها ٢٨ ÷ ٤ = ٧.

لاحظ في الرسم أن مجموع الزيادات فوق المتوسط يساوي دائمًا مجموع النقص تحته. هذه الحقيقة هي أساس طريقة سريعة اسمها الموازنة، وستستعملها في كل أجزاء الدرس.

بعد أن عرفت أن المتوسط مجموعٌ مقسوم على عدد، انظر ماذا يحدث حين تدخل قيمة جديدة أو تخرج قيمة: يتغير المجموع ويتغير العدد معًا. إذا عدّلت أحدهما ونسيت الآخر فستخطئ.

إذا تغيّرت قيمة دون إضافة ولا حذف، بقي العدد كما هو وتغيّر المجموع بمقدار الفرق فقط. لذلك تغيّر المتوسط = تغيّر المجموع ÷ العدد. والعكس صحيح أيضًا: إذا زاد متوسط ٨ قيم بمقدار ٢ فقد زاد مجموعها ٢ × ٨ = ١٦، لا ٢ فقط.

وإذا تغيّرت كل القيم بالطريقة نفسها تغيّر المتوسط بالطريقة نفسها. مثلًا ثلاثة أعداد متوسطها ٢٠: إذا زدت كل عدد ٥ صار المتوسط ٢٥، وإذا ضربت كل عدد في ٣ صار المتوسط ٦٠.

أصعب أسئلة هذه المهارة أن يكون المجهول هو عدد الأفراد. في هذه الحالة اكتب معادلة واحدة: المجموع الجديد = المتوسط الجديد × العدد الجديد.

انتبه إلى أننا نقارن القادم بالمتوسط الجديد لا بالقديم، لأن جزءًا منه يساوي المتوسط الجديد (٣٣) يبقى له ليصير مثل الباقين، والزائد فقط هو ما يوزَّع عليهم.

في الأمثلة السابقة كانت القيم تدخل واحدة واحدة. لكن القيمة نفسها كثيرًا ما تتكرر: عشرة موظفين بالراتب نفسه، أو خمسة طلاب بالدرجة نفسها. عندها لا تجمع القيمة عشر مرات، بل تضربها في عدد مرات تكرارها. وهذا هو المتوسط المرجّح (الموزون): لكل قيمة وزن يساوي عدد مرات ظهورها.

المتوسط المرجّح = مجموع (كل قيمة × وزنها) ÷ مجموع الأوزان. والمقام هو مجموع التكرارات، أي عدد الأفراد كلهم، لا عدد الصفوف في الجدول ولا عدد الفئات.

الفكرة نفسها تنطبق حين تدمج مجموعتين لكل منهما متوسط: متوسط المجموعة يقوم مقام القيمة، وعدد أفرادها يقوم مقام الوزن. فاسترجع مجموع كل مجموعة، ثم اجمع المجموعين، ثم اقسم على العدد الكلي.

من الرسم تخرج قاعدتان تختصران الحل وتساعدانك في استبعاد الخيارات: المتوسط الكلي يقع دائمًا بين المتوسطين وأقرب إلى المجموعة الأكبر، ولا يساوي متوسط المتوسطين إلا إذا تساوى حجما المجموعتين. وللحساب السريع: تحرّك من متوسط المجموعة الأولى نحو الثانية بمقدار الفرق × حجم الثانية ÷ الحجم الكلي، هنا ٦٠ + ٢٠ × ٧ ÷ ١٠ = ٦٠ + ١٤ = ٧٤.

النسب المئوية تُعامل معاملة المتوسطات أيضًا. فإذا دمجت نسبتين من مجموعتين مختلفتين في الحجم فرجّح كل نسبة بحجم مجموعتها. وإذا لم تُعطَ الأعداد نفسها بل العلاقة بينها فقط، فافترض أعدادًا سهلة تحقق هذه العلاقة.

ويأتي السؤال كثيرًا في الاتجاه المعاكس: تعرف المتوسط الكلي أو المتوسط المطلوب، وتعرف متوسط جزء من المجموعة، ويُطلب منك متوسط الجزء الباقي. الطريقة هي نفسها لكن بالطرح: مجموع الباقي = المجموع الكلي − مجموع الجزء المعروف.

قد يخرج الناتج كسرًا والخيارات أعداد صحيحة، أو يقول السؤال «تقريبًا». عندها احسب القيمة الدقيقة أولًا، ثم اختر الخيار الأقرب الذي يحقق شرط السؤال، وتحقّق منه بالتعويض في المتوسط الكلي.