العناصر والعمليات

الانتماء ∈ يربط عنصرًا مفردًا بمجموعة: ٤ ∈ {٢، ٤، ٦، ٨}، و٥ ∉ {٢، ٤، ٦، ٨}.

الاحتواء ⊂ يربط مجموعة بمجموعة، ويشترط أن يكون كل عنصر فيها موجودًا في الأخرى: {٢، ٦} ⊂ {٢، ٤، ٦، ٨}.

عنصر واحد مفقود يبطل الاحتواء: {٢، ٥} ⊄ {٢، ٤، ٦، ٨}.

انظر إلى ما قبل الرمز: العدد المفرد يناسبه ∈، وما بين القوسين { } يناسبه ⊂.

كل مجموعة جزئية من نفسها، والمجموعة الخالية ∅ جزئية من كل مجموعة.

في العمليات ضع المجموعتين في شكل فن، واكتب المشترك في الوسط مرة واحدة.

كل عملية هي اختيار منطقة أو أكثر من الشكل.

إن لم يوجد عنصر مشترك فالتقاطع ∅، وتسمّى المجموعتان منفصلتين.

إذا كانت ب ⊂ أ: أ ∩ ب = ب، و أ ∪ ب = أ، و ب − أ = ∅.

إن وُصفت المجموعة بجملة، فاكتب عناصرها أولًا ثم طبّق العملية.

المجموعة قائمة من الأشياء نكتبها بين قوسين { }، ويسمّى كل شيء فيها عنصرًا. مثلًا أ = {٢، ٤، ٦، ٨} مجموعة عناصرها أربعة أعداد.

أمران لا يغيّران المجموعة: ترتيب العناصر وتكرارها. فالمجموعة {٦، ٢، ٨، ٤} هي نفسها أ، والمجموعة {٢، ٢، ٤} هي نفسها {٢، ٤}، لأن العنصر يُحسب مرة واحدة مهما تكرّر.

أول ما تُسأل عنه: ما علاقة شيء ما بالمجموعة؟ هنا علاقتان مختلفتان، ويجب ألا تخلط بينهما.

الانتماء ∈ يربط عنصرًا واحدًا بمجموعة. تكتب ٤ ∈ أ وتقرؤها «٤ ينتمي إلى أ»، لأن ٤ من عناصرها. وتكتب ٥ ∉ أ لأن ٥ ليس من عناصرها.

الاحتواء ⊂ يربط مجموعة بمجموعة. تكتب {٢، ٦} ⊂ أ وتقرؤها «{٢، ٦} مجموعة جزئية من أ»، لأن كل عنصر فيها موجود في أ. ويكفي عنصر واحد غير موجود في أ ليبطل الاحتواء: {٢، ٥} ⊄ أ لأن ٥ ليس في أ.

للتمييز السريع انظر إلى ما قبل الرمز. إن كان عددًا مفردًا بلا أقواس فهو عنصر ويناسبه ∈، وإن كان بين قوسين { } فهو مجموعة ويناسبها ⊂. لذلك الكتابة ٤ ⊂ أ خطأ، و{٤} ∈ أ خطأ، والصحيح ٤ ∈ أ و{٤} ⊂ أ.

حقيقتان تتكرران في الأسئلة: كل مجموعة جزئية من نفسها (أ ⊂ أ)، والمجموعة الخالية ∅ التي لا عناصر فيها جزئية من كل مجموعة، لأنها لا تحوي أي عنصر خارج تلك المجموعة.

عرفت الآن كيف تقرأ مجموعة واحدة. في أغلب الأسئلة تُعطى مجموعتين ويُطلب منك أن تبني منهما مجموعة ثالثة. سنستعمل في كل العمليات هاتين المجموعتين: أ = {١، ٣، ٥، ٧، ٩} و ب = {٣، ٤، ٦، ٩}.

قبل أي عملية، ضع العناصر في شكل فن: دائرتان متداخلتان، ويوضع العنصر الموجود في المجموعتين في المنطقة المشتركة بينهما مرة واحدة. العنصران ٣ و٩ موجودان في أ وفي ب، فمكانهما الوسط.

يقسم الشكل العناصر إلى ثلاث مناطق: في أ فقط {١، ٥، ٧}، وفي المشترك {٣، ٩}، وفي ب فقط {٤، ٦}. كل عملية بعد ذلك ليست إلا اختيارًا لمنطقة أو أكثر من هذا الشكل.

التقاطع أ ∩ ب هو العناصر الموجودة في أ «و» في ب معًا، أي المنطقة المشتركة وحدها. هنا أ ∩ ب = {٣، ٩}.

إذا لم يكن بين المجموعتين أي عنصر مشترك فتقاطعهما هو المجموعة الخالية ∅، وتسمّيان عندئذ مجموعتين منفصلتين.

أخذ التقاطع الوسط وحده. أما الاتحاد فعلى الطرف المقابل: يأخذ كل شيء.

الاتحاد أ ∪ ب هو العناصر الموجودة في أ «أو» في ب، ويدخل فيه ما كان فيهما معًا، أي المناطق الثلاث كلها. اكتب عناصر أ، ثم أضف من ب ما لم تكتبه بعد، فلا يتكرر العنصر المشترك. هنا أ ∪ ب = {١، ٣، ٤، ٥، ٦، ٧، ٩}.

لتعرف عدد عناصر الاتحاد دون أن تكتبها: عدد عناصر أ ∪ ب = عدد عناصر أ + عدد عناصر ب − عدد عناصر أ ∩ ب. نطرح المشترك لأنه حُسب مرتين، مرة مع أ ومرة مع ب. هنا ٥ + ٤ − ٢ = ٧، وهو عدد العناصر التي كتبناها.

بقيت عملية تختلف عن السابقتين في أمر مهم: ترتيب المجموعتين فيها يغيّر النتيجة.

الفرق أ − ب هو عناصر أ التي ليست في ب. تبدأ من أ وتحذف منها كل عنصر مشترك، فيبقى لك منطقة «أ فقط». هنا أ − ب = {١، ٥، ٧}.

أما ب − أ فتبدأ فيه من ب وتحذف المشترك، فيكون ب − أ = {٤، ٦}. النتيجتان مختلفتان، فالفرق ليس تبادليًا: المجموعة المكتوبة أولًا هي التي تأخذ منها.

والآن اربط العمليات بالاحتواء الذي بدأنا به. إذا كانت ب ⊂ أ فدائرة ب كلها داخل دائرة أ، وعندها يكون أ ∩ ب = ب، و أ ∪ ب = أ، و ب − أ = ∅.

قد يصف السؤال المجموعة بجملة بدل أن يكتب عناصرها. اكتب العناصر أولًا، ثم حدّد المشترك، ثم طبّق العملية المطلوبة.