الأولية والتحليل

العدد الأولي عدد أكبر من ١ له قاسمان موجبان فقط: ١ والعدد نفسه، مثل ٧.

العدد المركّب له أكثر من قاسمين، مثل ١٢.

الواحد ليس أوليًا ولا مركّبًا.

٢ هو العدد الأولي الزوجي الوحيد.

العدد الفردي ليس أوليًا دائمًا، فالأعداد ٩ و١٥ و٢١ فردية ومركّبة.

لتختبر عددًا، اقسمه على الأعداد الأولية ٢، ٣، ٥، ٧، … بالترتيب.

توقّف حين يصير مربع العدد الأولي أكبر من العدد الذي تختبره.

يقبل العدد القسمة على ٢ إذا كان رقم آحاده زوجيًا.

ويقبلها على ٣ إذا قبل مجموع أرقامه القسمة على ٣.

ويقبلها على ٥ إذا كان رقم آحاده ٠ أو ٥.

كل عدد مركّب يُكتب بطريقة واحدة فقط حاصلَ ضرب أعداد أولية، وهذا تحليله إلى العوامل الأولية.

تصل إلى التحليل بشجرة العوامل، أو بقسمة العدد مرة بعد مرة على أصغر عدد أولي يقسمه.

يقبل أ القسمة على ب إذا وُجدت عوامل ب الأولية كلها في تحليل أ، ووُجد كل عامل بعدد مرات لا يقل عن عدد مراته في ب.

إذا قبل عدد القسمة على أعداد أولية مختلفة، فهو يقبل القسمة على حاصل ضرب أي مجموعة منها.

لكن لا تفترض أن عاملًا تكرّر ما لم يُذكر تكراره.

لتعرف عدد القواسم الموجبة، حلّل العدد، ثم أضف ١ إلى كل أسّ، ثم اضرب النواتج.

نضيف ١ لأن الأسّ صفر خيار أيضًا.

العدد الأولي له قاسمان.

مربع العدد الأولي له ثلاثة قواسم.

حاصل ضرب عددين أوليين مختلفين له أربعة قواسم.

يكون عدد القواسم فرديًا فقط إذا كان العدد مربعًا كاملًا.

ابدأ من كلمة «قاسم». نقول إن ٤ قاسم للعدد ١٢ لأن ١٢ ÷ ٤ = ٣ دون باقٍ. وقواسم ١٢ الموجبة هي: ١، ٢، ٣، ٤، ٦، ١٢.

القواسم تأتي أزواجًا، وحاصل ضرب كل زوج هو العدد نفسه: ١ × ١٢، و٢ × ٦، و٣ × ٤. تخيّل أن معك ١٢ حبة تمر تريد ترتيبها على شكل مستطيل. كل زوج من القواسم يعطيك مستطيلًا مختلفًا.

وهذا هو الفرق بين النوعين. العدد الأولي عدد أكبر من ١ ليس له إلا قاسمان موجبان هما ١ والعدد نفسه، مثل ٧. أما العدد المركّب فله أكثر من قاسمين، مثل ١٢.

الواحد ليس أوليًا ولا مركّبًا، لأن له قاسمًا واحدًا فقط هو نفسه. أما العدد ٢ فهو أولي، وهو العدد الأولي الزوجي الوحيد، لأن كل عدد زوجي بعده يقبل القسمة على ٢، فيكون له ثلاثة قواسم على الأقل.

انظر في الجدول إلى الأعداد الفردية غير الملوّنة: ٩ و١٥ و٢١ و٢٥ و٢٧. كلها فردية لكنها مركّبة، فالعدد الفردي ليس أوليًا دائمًا.

ومن تعريف العدد الأولي تستنتج أن قسمة عدد أولي على عدد أولي آخر مختلف عنه لا تعطي عددًا صحيحًا أبدًا، بل كسرًا. مثلًا ١٣ ÷ ٥ = ٢٫٦، لأن ٥ ليس من قاسمَي ١٣.

وإذا أردت أن تختبر عددًا أكبر من ٣٠، فجرّب قسمته على الأعداد الأولية ٢، ٣، ٥، ٧، ١١… بالترتيب، وتوقّف حين يصير مربع العدد الأولي أكبر من العدد الذي تختبره. السبب أن القواسم أزواج، وفي كل زوج عدد لا يتجاوز الجذر التربيعي للعدد، فإن لم تجد قاسمًا قبل الجذر فلن تجده بعده.

تسرّع التجربةَ ثلاثةُ اختبارات سريعة: يقبل العدد القسمة على ٢ إذا كان رقم آحاده زوجيًا، وعلى ٣ إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على ٣، وعلى ٥ إذا كان رقم آحاده ٠ أو ٥.

الآن تظهر أهمية الأعداد الأولية: كل عدد مركّب يُبنى بضرب أعداد أولية، كما تُبنى الكلمة من الحروف. وكتابة العدد في صورة حاصل ضرب أعداد أولية فقط تُسمّى تحليله إلى العوامل الأولية.

أسهل طريقة للتحليل هي شجرة العوامل. اكتب العدد حاصل ضرب أي عددين، ثم حلّل كل عدد مركّب منهما بالطريقة نفسها، ولا تتوقف حتى تكون كل الأطراف أعدادًا أولية.

النتيجة واحدة مهما كانت البداية. لو بدأت بـ ١٨٠ = ١٢ × ١٥، فإن ١٢ = ٢ × ٢ × ٣ و١٥ = ٣ × ٥، فتصل إلى العوامل نفسها: ٢، ٢، ٣، ٣، ٥. ونكتبها مختصرة بالأسس هكذا: ١٨٠ = ٢² × ٣² × ٥.

وإن لم يخطر لك عاملان بسرعة، فاقسم العدد على أصغر عدد أولي يقسمه، ثم كرّر ذلك مع الناتج حتى تصل إلى عدد أولي.

ولماذا نحلّل؟ لأن التحليل يكشف لك القسمة. يقبل العدد أ القسمة على العدد ب إذا وُجدت كل عوامل ب الأولية في تحليل أ، ووُجد كل عامل منها بعدد مرات لا يقلّ عن عدد مراته في ب.

وتعمل الفكرة نفسها في الاتجاه المعاكس. إذا علمت أن عددًا يقبل القسمة على أعداد أولية مختلفة، فهو يقبل القسمة على حاصل ضرب أي مجموعة منها. لكن لا تفترض أن عاملًا تكرّر ما لم يُذكر تكراره.

بقي سؤال شائع في الاختبار: كم قاسمًا للعدد؟ يمكنك أن تكتب القواسم كلها ثم تعدّها، لكن التحليل يعطيك الجواب مباشرة دون أن تخشى نسيان أحدها.

خذ العدد ٧٢ = ٢³ × ٣². كل قاسم لـ ٧٢ مصنوع من عوامله فقط. فمن العامل ٢ تأخذ صفر مرة أو مرة أو مرتين أو ثلاث مرات، وهذه ٤ خيارات. ومن العامل ٣ تأخذ صفر مرة أو مرة أو مرتين، وهذه ٣ خيارات. وكل اختيارين معًا يعطيان قاسمًا مختلفًا.

ومن هنا القاعدة: حلّل العدد، وأضف ١ إلى كل أسّ، ثم اضرب النواتج. نضيف ١ لأن الأسّ صفر خيار أيضًا، وهو يعني ألّا تأخذ العامل أبدًا، ومنه يأتي القاسم ١. فعدد قواسم ٧٢ = (٣ + ١) × (٢ + ١) = ٤ × ٣ = ١٢.

ومن القاعدة نفسها تخرج حالات تتكرر في الاختبار. العدد الأولي س له قاسمان، لأن ١ + ١ = ٢. ومربع العدد الأولي س² له ثلاثة قواسم فقط هي ١ وس وس². وحاصل ضرب عددين أوليين مختلفين له أربعة قواسم، لأن ٢ × ٢ = ٤. ويكون عدد القواسم فرديًا فقط إذا كان العدد مربعًا كاملًا، لأن جذره هو القاسم الوحيد الذي لا زوج له.