النقاط والتحويلات

النقطة (س، ص) تُقرأ من الأصل: س حركة أفقية أولًا (الموجب يمينًا والسالب يسارًا)، ثم ص حركة رأسية (الموجب أعلى والسالب أسفل).

الترتيب مهم: (٢، −٥) نقطة غير (−٥، ٢).

الإشارتان تحددان الربع. الترقيم يبدأ من الربع العلوي الأيمن ويسير عكس عقارب الساعة: الأول (+، +)، الثاني (−، +)، الثالث (−، −)، الرابع (+، −).

إذا كان أحد الإحداثيين صفرًا فالنقطة على أحد المحورين، ولا تقع في أي ربع.

هل النقطة على المستقيم؟ عوّض بإحداثييها في معادلته. إن تساوى الطرفان فهي عليه.

وفي المنطقة المظللة: استبعد بالربع أولًا، ثم عوّض في معادلة الحد المائل لتعرف جهة النقطة منه.

الانسحاب: الحركة يمينًا أو إلى أعلى تُضاف، والحركة يسارًا أو إلى أسفل تُطرح.

الانعكاس حول أحد المحورين: الإحداثي الذي يحمل اسم المحور يبقى كما هو، وتتغير إشارة الآخر.

حول الأصل تتغير الإشارتان معًا، وحول المستقيم ص = س يتبادل الإحداثيان.

دوران ٩٠° يبادل الإحداثيين، واتجاه الدوران يحدد الإشارة.

تحقّق بالربع: الدوران عكس العقارب ينقل النقطة إلى الربع التالي، والدوران معها ينقلها إلى الربع السابق.

دوران ١٨٠° يعطي نتيجة الانعكاس حول الأصل نفسها.

قاعدة تغيير الإشارة تصلح للمحورين فقط. مع مرآة مثل س = ٢ ضع الصورة على البعد نفسه منها، في الجهة المقابلة.

في تحويلين متتاليين نفّذ الأول، ثم طبّق الثاني على صورته، بالترتيب المذكور في السؤال.

المسافة بين نقطتين لهما ص نفسه هي الفرق بين قيمتي س، وإن كان لهما س نفسه فهي الفرق بين قيمتي ص.

اطرح الأصغر من الأكبر دائمًا: المسافة بين (−٢، ٣) و(٥، ٣) هي ٥ − (−٢) = ٧.

المستوى الإحداثي خطّا أعداد متعامدان. الخط الأفقي اسمه محور السينات، وتزداد أعداده نحو اليمين. والخط الرأسي اسمه محور الصادات، وتزداد أعداده نحو الأعلى. يلتقي المحوران في نقطة الأصل (٠، ٠)، ومنها تقيس كل حركة.

كل نقطة تُكتب زوجًا مرتبًا (س، ص). الإحداثي الأول س يحدد الحركة الأفقية من الأصل: الموجب يمينًا والسالب يسارًا. والإحداثي الثاني ص يحدد الحركة الرأسية: الموجب إلى أعلى والسالب إلى أسفل. ابدأ دائمًا من الأصل، وتحرّك أفقيًا أولًا ثم رأسيًا.

إشارة س تحدد اليمين أو اليسار، وإشارة ص تحدد الأعلى أو الأسفل. لذلك تكفيك الإشارتان وحدهما لتعرف في أي جزء من المستوى تقع النقطة، دون أن ترسمها.

المحوران يقسمان المستوى إلى أربعة أرباع. يبدأ الترقيم من الربع العلوي الأيمن، ثم يسير عكس اتجاه عقارب الساعة. ولكل ربع إشارتان ثابتتان.

إذا كان أحد الإحداثيين صفرًا فالنقطة تقع على أحد المحورين، ولا تنتمي إلى أي ربع. النقطة (س، ٠) على محور السينات، والنقطة (٠، ص) على محور الصادات.

قد يسألك السؤال: هل تقع نقطة معيّنة على مستقيم معلومة معادلته؟ المعادلة شرط يربط س بـ ص، ولا تقع النقطة على المستقيم إلا إذا حقّقت هذا الشرط. عوّض بإحداثيي النقطة في المعادلة: إن تساوى الطرفان فهي عليه، وإلا فلا. وإذا جاءت المعادلة على صورة «… = ٠» فانقل العدد الثابت إلى الطرف الآخر أولًا لتسهل المقارنة. وفي أسئلة الاختيارات جرّب كل خيار بالطريقة نفسها.

والفكرة نفسها تنفعك مع المنطقة المظللة. افحص النقطة على مرحلتين. في المرحلة الأولى انظر إلى الإشارتين: إن وقعت النقطة في ربع غير ربع المنطقة فاستبعدها فورًا. وفي المرحلة الثانية انظر إلى الحد المائل: عوّض في معادلته لتعرف في أي جهة منه تقع النقطة. لا تكتفِ بالمرحلة الأولى، فبعض نقاط الربع الصحيح تقع خارج المنطقة.

كل ما سبق كان عن قراءة النقاط في أماكنها. ننتقل الآن إلى تحريكها. التحويل يأخذ النقطة إلى موضع جديد يسمى صورتها، ولكل تحويل أثر محدد على الإحداثيين. نبدأ بأبسطها، وهو الانسحاب.

الانسحاب إزاحة للنقطة دون تدوير أو قلب. الحركة الأفقية لا تغيّر إلا س: إلى اليمين تضيف، وإلى اليسار تطرح. والحركة الرأسية لا تغيّر إلا ص: إلى أعلى تضيف، وإلى أسفل تطرح.

في الانسحاب تتحرك النقطة وتبقى جهتها كما هي. أما الانعكاس فيقلب النقطة إلى الجهة الأخرى من مستقيم يعمل كالمرآة. تقع الصورة على البعد نفسه من المرآة ولكن في الجهة المقابلة، والخط الواصل بين النقطة وصورتها عمودي على المرآة.

من الرسم تقرأ القاعدة. في الانعكاس حول محور السينات تتحرك النقطة رأسيًا فقط، فيبقى س كما هو وتتغير إشارة ص: (س، ص) ← (س، −ص). وحول محور الصادات تتحرك النقطة أفقيًا فقط، فيبقى ص وتتغير إشارة س: (−س، ص). وحول نقطة الأصل تتغير الإشارتان معًا: (−س، −ص). وللتذكّر: الإحداثي الذي يحمل اسم المحور هو الذي يبقى كما هو.

بقي انعكاس شائع حول المستقيم ص = س، وهو المستقيم المائل المار بالأصل ونقاطه مثل (١، ١) و(٣، ٣). هذا الانعكاس لا يغيّر أي إشارة، بل يبدّل الإحداثيين: (س، ص) ← (ص، س).

قاعدة تغيير الإشارة تصلح عندما تكون المرآة أحد المحورين فقط. فإن كانت المرآة مستقيمًا رأسيًا أو أفقيًا آخر، مثل س = ٢، فارجع إلى الفكرة الأصلية: الصورة على البعد نفسه من المرآة، في الجهة المقابلة.

آخر التحويلات هو الدوران حول الأصل. في دوران ١٨٠° تنتقل النقطة إلى الجهة المقابلة تمامًا مرورًا بالأصل، فنتيجته هي نتيجة الانعكاس حول الأصل نفسها: (−س، −ص). أما في دوران ٩٠° فيدور مع النقطة ضلعاها: الضلع الأفقي يصير رأسيًا، والرأسي يصير أفقيًا. لهذا يتبادل الإحداثيان، ثم يحدد اتجاه الدوران الإشارة.

إذن في دوران ٩٠° عكس عقارب الساعة: (س، ص) ← (−ص، س)، وفي دوران ٩٠° مع عقارب الساعة: (س، ص) ← (ص، −س). وإن نسيت الإشارة فتحقّق بالربع: ربع الدورة عكس العقارب ينقل النقطة إلى الربع التالي في الترقيم، وربع الدورة مع العقارب ينقلها إلى الربع السابق.

وهذه قواعد التحويلات كلها في جدول واحد، لتراجعها قبل التدريب.

قد يطلب السؤال تحويلين متتاليين. نفّذهما واحدًا بعد الآخر بالترتيب المذكور في السؤال، واجعل صورة التحويل الأول نقطة البداية للثاني؛ فتغيير الترتيب قد يغيّر النتيجة.

يبقى حساب المسافة بين نقطتين على خط أفقي أو رأسي، وتحتاجه كثيرًا بعد الانسحاب والانعكاس. إذا تساوى ص في النقطتين فالمسافة بينهما هي الفرق بين قيمتي س. وإذا تساوى س فالمسافة هي الفرق بين قيمتي ص. اطرح الأصغر من الأكبر دائمًا، لأن المسافة طول، والطول لا يكون سالبًا.

وإذا كانت النقطتان على جانبي الصفر فالطرح يتحول إلى جمع. من −٢ إلى ٥ مثلًا تقطع وحدتين حتى الصفر، ثم ٥ وحدات بعده.