المثلثات الخاصة

في مثلثين قائمين خاصين يكفيك ضلع واحد لتعرف الضلعين الآخرين، لأن زواياهما ثابتة فنسب أضلاعهما ثابتة.

القائم متساوي الساقين (٤٥°–٤٥°–٩٠°): أضلاعه ل : ل : ل√٢.

من الساق إلى الوتر اضرب في √٢، ومن الوتر إلى الساق اقسم على √٢.

قطر المربع = ضلعه × √٢.

مساحة هذا المثلث = الوتر² ÷ ٤.

تعرفه بإحدى هذه العلامات: ساقان متساويتان، أو زاوية ٤٥°، أو قطر مربع.

المثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠° هو نصف مثلث متساوي الأضلاع، وأضلاعه ق : ق√٣ : ٢ق.

الضلع ق يقابل الزاوية ٣٠°، والضلع ق√٣ يقابل الزاوية ٦٠°، والوتر ٢ق يقابل الزاوية القائمة.

الضلع المقابل لزاوية هو الضلع الذي لا يلمس رأسها.

ابدأ دائمًا من الضلع القصير: الوتر ÷ ٢، أو الضلع الطويل ÷ √٣، ثم احسب منه الضلعين الآخرين.

إذا كان الوتر ضعف إحدى الساقين، أو كانت الساقان بنسبة ١ : √٣، فالمثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°، ومنه تعرف زواياه.

لا تستعمل أيًّا من النسبتين إلا في مثلث قائم فيه زاوية خاصة معطاة أو مستنتجة، أو أضلاع على إحدى النسبتين.

رسوم الاختبار ليست دائمًا بمقياس دقيق، فلا تحكم على زاوية من شكلها.

تعرف أن نظرية فيثاغورس تعطيك الضلع الثالث في المثلث القائم إذا عرفت ضلعين. لكن في مثلثين قائمين خاصين يكفيك ضلع واحد، لأن زواياهما معروفة، والزوايا الثابتة تعني أن النسب بين الأضلاع ثابتة أيضًا. هذان المثلثان هما ٤٥°–٤٥°–٩٠° و٣٠°–٦٠°–٩٠°، ويتكرران كثيرًا في أسئلة القدرات.

نبدأ بحقيقة تعرفها: في المثلث متساوي الساقين تتساوى زاويتا القاعدة، وهما الزاويتان المقابلتان للضلعين المتساويين. والعكس صحيح أيضًا: إذا تساوت زاويتان في مثلث، تساوى الضلعان المقابلان لهما.

المثلث الأول هو القائم متساوي الساقين. إذا كان المثلث قائمًا وساقاه متساويتين، فالزاويتان الأخريان متساويتان، ومجموعهما ١٨٠° − ٩٠° = ٩٠°، فقياس كل منهما ٤٥°. والعكس صحيح: إذا رأيت مثلثًا قائمًا فيه زاوية ٤٥°، فالزاوية الثالثة ٤٥° أيضًا، وساقاه متساويتان.

ستجد هذا المثلث داخل كل مربع، فقطر المربع يقسمه إلى مثلثين قائمين متساويي الساقين.

لنحسب الوتر. سمِّ طول الساق ل. بنظرية فيثاغورس: الوتر² = ل² + ل² = ٢ل²، فالوتر = ل√٢. إذن أضلاع هذا المثلث بنسبة ل : ل : ل√٢، أي ١ : ١ : √٢.

تستعمل هذه النسبة في الاتجاهين: من الساق إلى الوتر تضرب في √٢، ومن الوتر إلى الساق تقسم على √٢. ولهذا فإن قطر المربع = ضلعه × √٢، فالمربع الذي طول ضلعه ٥ طول قطره ٥√٢.

للمساحة طريق مختصر. مساحة هذا المثلث = نصف × ل × ل = ل² ÷ ٢. وبما أن الوتر² = ٢ل²، فالمساحة = الوتر² ÷ ٤. يوفّر عليك هذا الطريق الوقت حين يعطيك السؤال الوتر وحده.

في الأسئلة يظهر هذا المثلث بإحدى هذه العلامات: علامتا تطابق متماثلتان على الساقين، أو زاوية ٤٥°، أو قطر مربع، أو ركن مقصوص من مستطيل بقطعتين متساويتين. إذا رأيت إحداها مع زاوية قائمة فاستعمل النسبة ١ : ١ : √٢.

حصلنا على المثلث الأول من نصف مربع. ونحصل على المثلث الثاني، ٣٠°–٦٠°–٩٠°، بطريقة مشابهة: من نصف مثلث متساوي الأضلاع.

خذ مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه ٢، وزواياه كلها ٦٠°. أنزل ارتفاعًا من رأسه إلى القاعدة. هذا الارتفاع ينصّف القاعدة فيصير طول كل نصف ١، وينصّف زاوية الرأس فتصير ٣٠°. كل نصف مثلث قائم زواياه ٣٠° و٦٠° و٩٠°، طول وتره ٢ وطول ضلعه القصير ١.

نحسب الارتفاع بنظرية فيثاغورس: الارتفاع² = ٢² − ١² = ٤ − ١ = ٣، فالارتفاع = √٣. إذن أضلاع المثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠° بنسبة ١ : √٣ : ٢. وإذا سمّيت الضلع القصير ق، فالأضلاع ق وق√٣ و٢ق.

الأهم أن تعرف أي ضلع يقابل أي زاوية. القاعدة العامة أن الزاوية الأصغر تقابل الضلع الأصغر. فالضلع ق يقابل الزاوية ٣٠°، والضلع ق√٣ يقابل الزاوية ٦٠°، والوتر ٢ق يقابل الزاوية القائمة. والضلع المقابل لزاوية هو الضلع الذي لا يلمس رأسها.

ومن هذا تأتي أشهر حقيقة في الباب: الضلع المقابل للزاوية ٣٠° طوله نصف طول الوتر.

أيًّا كان الضلع المعطى في السؤال، فالطريق واحد: وصّل أولًا إلى الضلع القصير ق، ثم احسب منه الضلعين الآخرين.

في المسائل المأخوذة من الحياة، كسُلّم مسنود إلى جدار أو زاوية ارتفاع نحو قمة شجرة، ارسم المثلث أولًا. ثم حدّد الزاوية الخاصة، والضلع المقابل لها، والوتر.

وقد يعطيك السؤال الأضلاع بدل الزوايا. إذا كانت الساقان بنسبة ١ : √٣، أو كان الوتر ضعف إحدى الساقين، فالمثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°، ومنه تستنتج زواياه.

قبل أن تستعمل أيًّا من النسبتين تأكّد من شرطين: أن المثلث قائم، وأن فيه زاوية خاصة معطاة أو مستنتجة، أو أن أضلاعه على إحدى النسبتين. رسوم الاختبار ليست دائمًا بمقياس دقيق، فلا تحكم على زاوية بأنها ٣٠° أو ٤٥° لأنها تبدو كذلك.

وفرّق بين متساوي الساقين ومتساوي الأضلاع. في متساوي الساقين ضلعان فقط متساويان، ولا تكون زواياه ٦٠° إلا إذا كان متساوي الأضلاع. أما القائم متساوي الساقين فزواياه ٤٥° و٤٥° و٩٠°.