الوسيط والمنوال

الوسيط هو القيمة التي تقع في منتصف القيم بعد ترتيبها تصاعديًا، فعدد القيم قبلها يساوي عدد القيم بعدها.

اكتب القيمة المكررة بعدد مرات تكرارها، فكل قيمة تحجز موضعًا في الترتيب.

إذا كان عدد القيم ن فرديًا، فالوسيط هو القيمة في الموضع (ن + ١) ÷ ٢.

وإذا كان ن زوجيًا، فالوسيط متوسط القيمتين في الموضعين ن ÷ ٢ و(ن ÷ ٢) + ١. وقد لا يكون من القيم الأصلية، وقد يكون كسرًا عشريًا.

إذا أُضيفت قيمة أو حُذفت، فأعد الترتيب وحدّد موضع الوسيط من جديد، لأن عدد القيم تغيّر.

الوسيط لا يتأثر بقيمة شاذة كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا.

المنوال هو القيمة الأكثر تكرارًا: عُدّ مرات ظهور كل قيمة، ثم اختر القيمة الأكثر ظهورًا.

المنوال هو القيمة نفسها لا عدد مرات ظهورها، ولا علاقة له بكبر القيمة أو صغرها.

إذا اشتركت قيمتان أو أكثر في أعلى تكرار، فكلها منوالات.

إذا تساوت تكرارات جميع القيم، فلا يوجد منوال.

عندما تكون أمامك مجموعة من القيم، مثل درجات طلاب أو أعمارهم، تحتاج أحيانًا إلى عدد واحد يعبّر عن مركزها. المتوسط الحسابي أحد هذه الأعداد، وفي هذا الدرس تتعلّم مقياسين آخرين هما الوسيط والمنوال.

الوسيط هو القيمة التي تقع في منتصف القيم بعد ترتيبها، فيكون عدد القيم قبلها مساويًا لعدد القيم بعدها.

عبارة «بعد ترتيبها» هي مفتاح الوسيط. فالوسيط يعتمد على موضع القيمة في الصف، والموضع لا معنى له إلا إذا رتّبت القيم تصاعديًا من الأصغر إلى الأكبر.

إذا كان عدد القيم فرديًا فهناك قيمة واحدة في المنتصف، وموضعها (ن + ١) ÷ ٢، حيث ن عدد القيم. فمع ٥ قيم يكون الوسيط في الموضع الثالث، ومع ٧ قيم في الموضع الرابع.

وإذا تكررت قيمة فاكتبها في الترتيب بعدد مرات تكرارها، لأن كل قيمة تحجز موضعًا في الصف.

لكن ماذا لو كان عدد القيم زوجيًا؟ عندها لا توجد قيمة واحدة في المنتصف، بل قيمتان متجاورتان يقع المنتصف بينهما.

في هذه الحالة يكون الوسيط متوسط القيمتين اللتين في الوسط، فتجمعهما وتقسم الناتج على ٢. وتقع هاتان القيمتان في الموضعين ن ÷ ٢ و(ن ÷ ٢) + ١، فمع ٦ قيم هما الثالثة والرابعة.

لاحظ أن الوسيط هنا قد لا يكون من القيم الأصلية، وقد يكون كسرًا عشريًا حتى لو كانت القيم كلها أعدادًا صحيحة.

في أسئلة القدرات قد يُطلب منك الوسيط بعد إضافة قيمة أو حذفها. عندها يتغيّر عدد القيم، وقد يتحوّل من فردي إلى زوجي، فأعد الترتيب وحدّد موضع الوسيط من جديد.

ومن خصائص الوسيط المفيدة أنه لا يتأثر بقيمة شاذة كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا. فوسيط القيم ٣، ٤، ٥، ٦، ٧ هو ٥، ولو استبدلت بالعدد ٧ العدد ١٠٠ لبقي الوسيط ٥، لأن القيمة الوسطى في الترتيب لم تتغيّر.

ننتقل الآن إلى مقياس لا يحتاج إلى ترتيب أصلًا، بل إلى عدّ، وهو المنوال.

المنوال هو القيمة الأكثر تكرارًا في البيانات. لإيجاده عُدّ كم مرة تظهر كل قيمة، ثم اختر القيمة التي ظهرت أكثر من غيرها.

انتبه إلى أمرين: المنوال هو القيمة نفسها لا عدد مرات ظهورها، ولا علاقة له بكون القيمة كبيرة أو صغيرة.

لتسريع العدّ في القوائم الطويلة رتّب القيم كما فعلت مع الوسيط، فتتجاور القيم المتساوية ويسهل عدّها.

والوسيط يوجد دائمًا وله قيمة واحدة، أما المنوال فقد يكون للبيانات أكثر من منوال واحد، وقد لا يكون لها منوال أبدًا.

إذا اشتركت قيمتان أو أكثر في أعلى تكرار فكلها منوالات. وإذا ظهرت جميع القيم بالعدد نفسه من المرات، كأن تظهر كل قيمة مرة واحدة أو تظهر كل قيمة مرتين، فلا يوجد منوال، لأنه لا توجد قيمة تتميّز عن غيرها.

في كثير من الأسئلة يُطلب الوسيط والمنوال معًا. رتّب القيم مرة واحدة، ثم اقرأ الوسيط من الموضع، واقرأ المنوال من القيم المتساوية المتجاورة.