العمليات الكسرية

المقام يحدّد حجم القطعة، والبسط يعدّ القطع.

لذلك لا تجمع كسرين ولا تطرحهما إلا بعد توحيد المقامين. بعدها تجمع البسطين أو تطرحهما، ويبقى المقام كما هو.

لا تجمع المقامات أبدًا.

لتحويل العدد الكسري إلى كسر: ٧ ٢/٥ = (٧ × ٥ + ٢)/٥ = ٣٧/٥.

في طرح الأعداد الكسرية، إن كان كسر المطروح أكبر فاستلف واحدًا من العدد الصحيح:

٨ ٣/١٢ − ٣ ١٠/١٢ = ٧ ١٥/١٢ − ٣ ١٠/١٢ = ٤ ٥/١٢

في مسائل المحيط: الطول + العرض = نصف المحيط.

في المسائل اللفظية: الكمية كلها ١، والباقي = ١ − مجموع الأجزاء.

و«ثلث الباقي» يُؤخذ من الباقي لا من الكل: ١/٣ × ٣/٥ = ١/٥.

الضرب: (البسط × البسط)/(المقام × المقام)، ولا يحتاج إلى توحيد المقامات.

اختصر قبل الضرب، ولو بين كسرين مختلفين: ٤/٩ × ١٥/٨ = ١/٣ × ٥/٢ = ٥/٦.

الاختصار بين عوامل مضروبة فقط، فلا تشطب ٣ مع ٣ في (٦ + ٣)/٣.

ضرب عدد موجب في كسر أصغر من ١ يعطي ناتجًا أصغر منه.

في سلسلة أقواس حوّل كل قوس إلى كسر أولًا. إن كانت المقامات متتالية أُلغيت الأعداد كلها إلا الطرفين:

وإن لم تكن المقامات متتالية فاضرب ضربًا عاديًا.

القسمة: ثبّت الأول، وحوّل ÷ إلى ×، واقلب الثاني وحده.

٥/٦ ÷ ١٠/٩ = ٥/٦ × ٩/١٠ = ٣/٤

قسمة عدد موجب على كسر موجب أصغر من ١ تعطي ناتجًا أكبر منه: ٢/٥ ÷ ١/١٠ = ٤.

أي مقدار غير صفري مقسوم على نفسه = ١، والقسمة على صفر ممنوعة.

الكسر المركّب قسمة، لأن خط الكسر يعني ÷:

(٢/٣)/(٤/٩) = ٢/٣ × ٩/٤ = ٣/٢

الكسر ٣/٥ يعني أنك قسمت الشيء إلى ٥ قطع متساوية وأخذت ٣ منها. المقام يحدّد حجم القطعة، والبسط يعدّ القطع التي أخذتها. هذه الفكرة وحدها تفسّر قواعد العمليات كلها.

إذا كانت القطع من الحجم نفسه فالجمع عدّ عادي: ٢/٩ + ٥/٩ = ٧/٩. ضممت قطعتين إلى ٥ قطع من النوع نفسه فصارت ٧، وبقي المقام ٩ لأن حجم القطعة لم يتغيّر. والطرح مثله: ٧/٩ − ٢/٩ = ٥/٩.

أما في ١/٣ + ١/٤ فالقطع مختلفة الحجم، فالثلث أكبر من الربع، ولا يصح أن تعدّهما معًا. الحل أن تقطّع الكسرين إلى قطع أصغر من حجم واحد. أنسب حجم هنا ١/١٢، لأن ١٢ أصغر عدد يقبل القسمة على ٣ وعلى ٤.

هذا ما يسمّى توحيد المقامات. تختار مقامًا يقبل القسمة على المقامين، والأسهل أصغر عدد كهذا. ثم تضرب بسط كل كسر ومقامه في العدد نفسه حتى يصل المقام إلى المقام الموحّد. الضرب في العدد نفسه فوق الخط وتحته لا يغيّر قيمة الكسر، وإنما يقطّعه قطعًا أصغر.

لا تجمع المقامات أبدًا. لو كان ١/٢ + ١/٢ = ٢/٤ لكان نصف ونصف يساويان نصفًا فقط. الصحيح أن ١/٢ + ١/٢ = ٢/٢ = ١، أي واحد كامل. المقام اسم لحجم القطعة، والاسم لا يُجمع.

الأعداد الكسرية تُبنى على الجمع نفسه. العدد ٧ ٢/٥ معناه ٧ + ٢/٥. ولتحويله إلى كسر واحد اضرب العدد الصحيح في المقام وأضف البسط: ٧ ٢/٥ = (٧ × ٥ + ٢)/٥ = ٣٧/٥.

لجمع الأعداد الكسرية أو طرحها طريقتان. الأولى أن تحوّل كل عدد إلى كسر واحد. والثانية أن تتعامل مع الأعداد الصحيحة وحدها ومع الكسور وحدها. في الطريقة الثانية قد يكون كسر المطروح أكبر من كسر المطروح منه، فتستلف واحدًا من العدد الصحيح وتكتبه كسرًا بالمقام الموحّد، كما تستلف عشرة في طرح الأعداد العادية.

من أشهر مواضع الأعداد الكسرية في الاختبار مسائل المحيط. محيط المستطيل = ٢ × (الطول + العرض)، إذن الطول + العرض = نصف المحيط. لذلك اطرح العرض من نصف المحيط، لا من المحيط كله.

والكسور في المسائل اللفظية تصف أجزاء من كمية واحدة. اجعل الكمية الأصلية كلها ١، واجمع الأجزاء التي أُخذت منها، ثم اطرح المجموع من ١ لتعرف الجزء الباقي. بعدها اربط الجزء الباقي بالعدد المعطى.

انتبه إلى عبارة «من الباقي». لو قيل: صرف ٢/٥ راتبه ثم ١/٣ الباقي، فالثلث هنا مأخوذ من ٣/٥ لا من الراتب كله، أي ١/٣ × ٣/٥ = ١/٥ من الراتب. أخذ جزء من جزء عملية ضرب، وهي الفكرة التالية.

الضرب في كسر معناه أن تأخذ جزءًا من شيء. فعبارة ٢/٣ × ٣/٤ تعني ثلثي ثلاثة الأرباع. لا حاجة هنا إلى توحيد المقامات، لأنك لا تضمّ قطعًا بعضها إلى بعض، بل تأخذ جزءًا من جزء.

عدّ الخانات يعطيك القاعدة. عدد الخانات المأخوذة هو البسط في البسط: ٢ × ٣ = ٦. وعدد خانات المستطيل كله هو المقام في المقام: ٣ × ٤ = ١٢. إذن حاصل ضرب كسرين = (البسط × البسط)/(المقام × المقام).

لاحظ أن الناتج ١/٢ أصغر من كلا الكسرين، وهذا طبيعي لأن أخذ جزء من شيء يعطي أقل منه. فإذا ضربت عددًا موجبًا في كسر أصغر من ١ فتوقّع ناتجًا أصغر منه، واستعمل ذلك لتستبعد خيارات خاطئة بسرعة.

اختصر قبل أن تضرب. إذا اشترك عدد في البسط وعدد في المقام في عامل واحد فاقسمهما عليه، حتى لو كانا في كسرين مختلفين. بهذا تتجنّب الأعداد الكبيرة.

الاختصار مسموح بين عوامل مضروبة فقط. في (٦ + ٣)/٣ لا تشطب ٣ مع ٣، لأن ٣ في البسط مضافة إلى ٦ لا مضروبة فيها. احسب البسط أولًا: ٩/٣ = ٣، والناتج ليس ٦.

بهذه الأدوات تحلّ أسئلة ضرب سلسلة من الأقواس. حوّل كل قوس إلى كسر واحد أولًا: ١ + ١/٦ = ٦/٦ + ١/٦ = ٧/٦، و١ − ١/٤ = ٤/٤ − ١/٤ = ٣/٤. لا تجمع الأقواس ولا تضربها قبل هذا التحويل.

إذا كانت المقامات أعدادًا متتالية فستجد إلغاءً متسلسلًا. في أقواس (١ + ١/ن) يلغي بسط كل كسر مقام الكسر الذي يليه. وفي أقواس (١ − ١/ن) يلغي مقام كل كسر بسط الكسر الذي يليه. وفي الحالتين لا يبقى إلا عددان على الطرفين.

إن لم تكن المقامات متتالية فلا تتوقّع هذا الإلغاء، واضرب ضربًا عاديًا: (١ − ١/٣)(١ − ١/٥) = ٢/٣ × ٤/٥ = ٨/١٥.

بقيت القسمة، وهي تسأل: كم مرة يدخل المقسوم عليه في المقسوم؟ ٦ ÷ ٢ = ٣ لأن ٢ تدخل في ٦ ثلاث مرات. والسؤال نفسه يُطرح مع الكسور: ٢ ÷ ١/٣ تعني كم ثلثًا في ٢؟

القسمة على ١/٣ إذن هي الضرب في ٣. ومن هنا القاعدة: القسمة على كسر = الضرب في مقلوبه. تحصل على المقلوب بتبديل البسط والمقام، فمقلوب ٣/٨ هو ٨/٣. مثال ذلك: ٣/٤ ÷ ٣/٨ = ٣/٤ × ٨/٣ = ٢. وهذا منطقي، لأن ٣/٤ = ٦/٨، والقطعة ٣/٨ تدخل فيها مرتين.

المقلوب يُطبَّق على المقسوم عليه وحده، أي الكسر الذي بعد علامة القسمة، ويبقى الأول كما هو. ولاحظ أن القسمة على كسر أصغر من ١ تكبّر الناتج، لأنك تعدّ قطعًا صغيرة: ٢/٥ ÷ ١/١٠ = ٢/٥ × ١٠ = ٤.

الصفر لا مقلوب له، فلا تقسم على صفر أبدًا. أما أي مقدار غير صفري مقسوم على نفسه فيساوي ١ مهما كان شكله، فلا تتعب في حسابه: ٧/١١ ÷ ٧/١١ = ١، و(٢٢٢ ÷ ٨٨٨) ÷ (٢٢٢ ÷ ٨٨٨) = ١. ابحث عن هذا التكرار قبل أن تبدأ أي حساب.

الكسر المركّب هو كسر بسطه أو مقامه كسر، وهو ليس إلا قسمة، لأن خط الكسر يعني ÷. فمثلًا $\frac{\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}}{\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}}$ = ٢/٣ ÷ ٤/٩ = ٢/٣ × ٩/٤ = ١٨/١٢ = ٣/٢.

حين تجتمع العمليات في سؤال واحد فابدأ بما داخل الأقواس، ثم نفّذ الضرب والقسمة واحدة بعد أخرى بحسب ترتيب ورودهما. القوس قد يغيّر الجواب كليًا.