الجزء والكل والأساس

كل مسألة نسبة مئوية يحكمها قانون واحد:

الجزء = الكل × النسبة ÷ ١٠٠.

تُعطى عنصرين وتحسب الثالث.

الكل (الأساس) هو غالبًا ما يأتي بعد «من» أو «إلى».

لحساب الجزء ذهنيًا ركّبه من نسب سهلة: ١٠٪ = العدد ÷ ١٠، و٥٪ نصفها، و٢٥٪ ربع العدد، و١٪ = العدد ÷ ١٠٠.

لحساب الكل انزل من الجزء المعروف إلى نسبة صغيرة، ثم اصعد إلى ١٠٠٪.

لحساب النسبة حوّل الكسر إلى كسر مقامه ١٠٠.

ما دام الأساس واحدًا فالجزء يتغيّر مع النسبة بالقدر نفسه: إذا كان ١٥٪ = ٣٦ فإن ٥٪ = ١٢ و٤٠٪ = ٩٦.

والنسب المأخوذة من أساس واحد تُجمع وتُطرح مباشرة: إذا صُرف ٤٠٪ ثم ١٥٪ من ٣٠٠٠ بقي ٤٥٪، أي ١٣٥٠.

في المسائل التي على مراحل ابنِ الجزء كاملًا قبل القسمة: ٤٠٪ = ١٥ + ٤٥ = ٦٠، فالكل ١٥٠.

إذا تغيّر الكل فاعتمد على الكمية الثابتة: ملح وزنه ٢٤ جم كان ٦٪ من ٤٠٠ جم، فصار ٨٪ من المحلول، إذن الوزن الجديد ٣٠٠ جم.

المقام يحدّد النسبة: في رحلة ١٥ رجلًا و٢٥ امرأة، نسبة الرجال إلى النساء ٦٠٪، ونسبتهم من المجموع ٣٧٫٥٪.

وإذا لم يُعطَ الأساس صريحًا فاحسبه أولًا بالجمع أو الطرح.

النسبة المئوية طريقة لقول «كم من كل مئة». فعبارة ٣٠٪ تعني ٣٠ من كل ١٠٠، أي ٣٠ جزءًا من ١٠٠ جزء متساوٍ من الشيء نفسه.

لكن ٣٠٪ وحدها لا تخبرك بكمية. فـ ٣٠٪ من راتب موظف غير ٣٠٪ من ثمن قلم. النسبة تحتاج دائمًا إلى شيء تُحسب منه، وهذا الشيء هو الكل، ويُسمّى أيضًا الأساس.

في كل مسألة نسبة مئوية ثلاثة عناصر: الكل (الأساس)، والنسبة، والجزء. في عبارة «٢٥٪ من ٤٠٠ تساوي ١٠٠» الكل ٤٠٠، والنسبة ٢٥٪، والجزء ١٠٠. والكلمة التي تدلّك على الأساس غالبًا هي «من»، فما يأتي بعدها هو الكل.

كيف ترتبط العناصر الثلاثة؟ ١٪ من الكل هو الكل ÷ ١٠٠، والنسبة تخبرك كم «١٪» تأخذ منه. لذلك: الجزء = الكل × النسبة ÷ ١٠٠. وكل سؤال في هذا الدرس يعطيك اثنين من الثلاثة ويطلب الثالث.

أولًا: حساب الجزء. إذا عرفت الكل والنسبة، فاضرب الكل في النسبة ثم اقسم على ١٠٠.

وفي القدرات تستطيع غالبًا أن تحسب ذهنيًا دون ضرب طويل، بالاعتماد على نسب سهلة: ١٠٪ من العدد تساوي العدد ÷ ١٠، و٥٪ نصف ١٠٪، و٥٠٪ نصف العدد، و٢٥٪ ربعه، و١٪ هي العدد ÷ ١٠٠. ثم تركّب منها النسبة المطلوبة.

أحيانًا لا يُعطى الكل، بل يُعطى جزء يقابل نسبة معيّنة، ويُطلب جزء يقابل نسبة أخرى من الكل نفسه. هنا لا تحتاج إلى الكل، لأن الجزء يكبر ويصغر مع النسبة بالقدر نفسه: إذا ضاعفت النسبة تضاعف الجزء، وإذا قسمتها على ٣ انقسم الجزء على ٣.

وإذا قُسم الكل إلى عدة أجزاء، كلٌّ منها نسبة من الكل نفسه، فاجمع النسب أولًا ثم احسب مرة واحدة، لأن النسب المأخوذة من أساس واحد تُجمع وتُطرح كما هي.

هذا الجمع صحيح لأن النسبتين من الأساس نفسه. لو قيل «١٥٪ من الباقي بعد الإيجار» لتغيّر الأساس إلى ١٨٠٠، ولكان الطعام ٢٧٠ لا ٤٥٠. فاسأل نفسك دائمًا: من أيّ شيء أُخذت هذه النسبة؟

ثانيًا: حساب الكل. الآن نعكس الاتجاه: تعرف الجزء ونسبته، وتريد الكل. استعمل الفكرة نفسها التي استعملتها قبل قليل: انزل من الجزء المعروف إلى نسبة صغيرة، ثم اصعد منها إلى ١٠٠٪.

وبالقانون: الكل = الجزء ÷ النسبة × ١٠٠، وهو قانون الجزء نفسه مقلوبًا.

في المسائل التي تحكي قصة على مراحل، السؤال الحقيقي هو: ما النسبة التي تمثلها الكمية المعروفة من الكل الأصلي؟ أعد بناء هذه الكمية كاملة أولًا، ثم احسب منها الكل.

وأصعب صور هذه المهارة حين يتغيّر الكل نفسه. هنا لا تستعمل الأساس القديم، بل ابحث عن كمية لم تتغيّر، واحسب قيمتها من الوضع الأول، ثم اعرف نسبتها في الوضع الجديد واحسب منها الكل الجديد.

لاحظ أن النسبة ارتفعت من ٦٪ إلى ٨٪ فقط، لكن الوزن نقص ١٠٠ جم، أي ربعه. لذلك لا تحسب فرق النسبتين من الوزن القديم، بل اعتمد دائمًا على الكمية الثابتة.

ثالثًا: حساب النسبة بين كميتين. بقيت الحالة الثالثة: تعرف الجزء والأساس وتطلب النسبة. اقسم الجزء على الأساس ثم اضرب في ١٠٠٪: النسبة = الجزء ÷ الأساس × ١٠٠٪.

وأسرع طريقة ذهنية أن تحوّل الكسر إلى كسر مقامه ١٠٠، فيكون بسطه هو النسبة مباشرة.

بعض الكسور تتكرر كثيرًا في القدرات، فاحفظ نسبها لتختصر الوقت، خاصة حين يُقسم الشيء إلى أجزاء متساوية وتُسأل عن عدد منها.

أهم قرار في هذه المهارة هو اختيار الأساس، أي المقام. في «نسبة أ إلى ب» الأساس هو ب، وفي «نسبة أ من المجموع» الأساس هو المجموع. والجزء نفسه يعطي نسبتين مختلفتين إذا تغيّر الأساس.

وقد لا يُعطى الأساس صريحًا، فتحسبه أولًا من المعطيات، بالجمع من جدول أو بالطرح من مجموع، ثم تكوّن النسبة.