القواسم والمضاعفات

القاسم يقسم العدد دون باقٍ، والمضاعف ناتج ضرب العدد في عدد صحيح.

في ٣ × ٤ = ١٢: العدد ٣ قاسم لـ١٢، و١٢ مضاعف لـ٣.

قواسم العدد محدودة، أما مضاعفاته فلا تنتهي.

ق.م.أ: أكبر عدد يقسم العددين. حلّل كل عدد إلى عوامله الأولية، وخذ العوامل المشتركة بأصغر أس.

م.م.أ: أصغر مضاعف مشترك موجب. خذ كل العوامل بأكبر أس، أو اكتب مضاعفات العدد الأكبر حتى تصل إلى أول مضاعف يقبل القسمة على الأصغر.

ضرب الأعداد يعطي م.م.أ فقط إذا لم يشترك أي عددين منها في عامل غير ١. مثلًا م.م.أ(٤، ٦) = ١٢ لا ٢٤.

إذا قبل س القسمة على ٤ وعلى ٦، فهو مضاعف لـ١٢.

عددان نسبتهما أ : ب في أبسط صورة: اكتبهما أ × ك و ب × ك، فيكون م.م.أ لهما أ × ب × ك.

توزيع كميات في أكبر عدد من المجموعات المتماثلة: استعمل ق.م.أ.

أحداث تتكرر بفترات مختلفة ويُسأل متى تحدث معًا: استعمل م.م.أ.

إذا أُعطيت محتوى المجموعة الواحدة، فاقسم كل كمية على نصيبها وخذ أصغر ناتج.

عدد مضاعفات ك من ١ إلى ن هو الجزء الصحيح من ن ÷ ك.

في مجال آخر: عيّن أول مضاعف لـ ك داخل المجال وآخر مضاعف له، ثم احسب (آخر مضاعف − أول مضاعف) ÷ ك + ١. وانتبه هل الطرفان داخلان في المجال.

للقسمة على عددين «معًا»: عدّ مضاعفات م.م.أ لهما.

للقسمة على هذا «أو» ذاك: اجمع العدّين ثم اطرح المشترك.

ابدأ من الضرب الذي تعرفه: ٣ × ٤ = ١٢. هذه الجملة فيها الفكرتان معًا. العدد ٣ قاسم لـ١٢ لأنه يقسمه دون باقٍ. والعدد ١٢ مضاعف لـ٣ لأنه ناتج ضرب ٣ في عدد صحيح. هي علاقة واحدة تنظر إليها من طرفين.

العبارات «٣ قاسم لـ١٢» و«٣ عامل من عوامل ١٢» و«١٢ يقبل القسمة على ٣» و«١٢ مضاعف لـ٣» تقول كلها الشيء نفسه. ستجدها كلها في أسئلة القدرات.

للتمييز بينهما بسرعة: قاسم العدد الموجب لا يزيد عليه، ومضاعفه لا يقل عنه. لذلك قواسم أي عدد محدودة، أما مضاعفاته فلا تنتهي.

حتى تكتب قواسم عدد كلها دون أن تنسى أحدها، ابحث عنها أزواجًا يكون حاصل ضرب كل زوج منها هو العدد نفسه. ابدأ من ١ وجرّب الأعداد صعودًا، وتوقّف حين يلتقي طرفا الزوج.

خذ الآن عددين معًا. كل عدد يقسم كليهما يسمّى قاسمًا مشتركًا لهما، وأكبر هذه القواسم يسمّى القاسم المشترك الأكبر، واختصاره ق.م.أ.

سرد القواسم يناسب الأعداد الصغيرة. مع الأعداد الأكبر حلّل كل عدد إلى عوامله الأولية، ثم خذ العوامل التي يشترك فيها العددان فقط. مثال ذلك: ٥٤ = ٢ × ٣ × ٣ × ٣، و٩٠ = ٢ × ٣ × ٣ × ٥.

وبلغة الأسس: ٥٤ = ٢ × ٣³ و٩٠ = ٢ × ٣² × ٥. القاسم المشترك الأكبر يأخذ كل عامل مشترك بأصغر أس ظهر به، فيكون ٢ × ٣² = ١٨. أما العامل ٥ فلا يدخل، لأنه غير موجود في ٥٤.

إن سُئلت عن ق.م.أ مباشرة وأمامك خيارات، فجرّبها من الأكبر إلى الأصغر. أول خيار يقسم الأعداد كلها هو الجواب.

في المسائل الكلامية يكون ق.م.أ هو الجواب حين يُطلب أكبر عدد من المجموعات المتماثلة، أو أطول قطعة تُقصّ منها أطوال مختلفة دون أن يبقى شيء. السبب أن العدد المطلوب يجب أن يقسم كل الكميات، والمطلوب أكبر عدد يحقق ذلك.

انتبه لنوع قريب من هذا: قد يعطيك السؤال محتوى المجموعة الواحدة، ثم يسأل كم مجموعة كاملة يمكن صنعها. هنا لا تبحث عن ق.م.أ. اقسم كل كمية على نصيبها في المجموعة الواحدة، ثم خذ أصغر ناتج، لأن النوع الذي ينفد أولًا هو الذي يوقف العمل.

القواسم المشتركة محدودة العدد، لذلك سألنا عن أكبرها. أما المضاعفات المشتركة فلا تنتهي، فنسأل عن أصغرها الموجب، ويسمّى المضاعف المشترك الأصغر، واختصاره م.م.أ. تخيّل عددين يقفز كل منهما بخطوته من الصفر: أول موضع يقفان عليه معًا هو م.م.أ.

لاحظ أن مواضع اللقاء التالية ٢٤ و٣٦ و… كلها مضاعفات لـ١٢. فكل مضاعف مشترك لعددين هو مضاعف للمضاعف المشترك الأصغر لهما.

أسرع طريقة ذهنية لإيجاد م.م.أ: اكتب مضاعفات العدد الأكبر واحدًا بعد آخر، وتوقّف عند أول مضاعف يقبل القسمة على العدد الأصغر.

وبالتحليل إلى العوامل الأولية: خذ كل عامل أولي ظهر في أي من العددين، بأكبر أس ظهر به. في مخطط الدائرتين يعني هذا أن تأخذ كل ما في الدائرتين، وتعدّ المنطقة المشتركة مرة واحدة فقط.

لعددين فقط تصح هذه العلاقة: ق.م.أ × م.م.أ = حاصل ضرب العددين. تحقّق منها: ١٨ × ٢٧٠ = ٤٨٦٠، و٥٤ × ٩٠ = ٤٨٦٠. هذه العلاقة لا تصح لثلاثة أعداد أو أكثر.

متى يكفي أن تضرب الأعداد لتحصل على م.م.أ؟ فقط إذا كان كل عددين منها لا عامل مشترك بينهما غير ١. أمثلة ذلك: م.م.أ(٤، ٩) = ٣٦، وم.م.أ(٣، ٤، ٥) = ٦٠. أما ٤ و٦ فبينهما العامل ٢، فم.م.أ لهما ١٢ لا ٢٤. وانتبه إلى الأعداد ٦ و١٠ و١٥: لا يوجد عامل واحد يقسمها جميعًا، لكن كل عددين منها يشتركان في عامل، فم.م.أ لها ٣٠ لا ٩٠٠.

الفكرة نفسها تحل أسئلة القابلية للقسمة. إذا قبل عدد القسمة على عددين، فهو يقبل القسمة على م.م.أ لهما، ولا يلزم أن يقبل القسمة على حاصل ضربهما.

في المسائل الكلامية يكون م.م.أ هو الجواب حين تتكرر أحداث كل منها بفترة مختلفة، ويُسأل متى تحدث معًا مرة أخرى: أضواء تومض، أو قطارات تصل، أو أجراس تدق.

وقد تأتيك النسبة مع م.م.أ: عددان نسبتهما أ : ب في أبسط صورة. اكتبهما أ × ك و ب × ك، فيكون م.م.أ لهما = أ × ب × ك.

بقي نوع من الأسئلة يطلب عدّ المضاعفات داخل مجال معيّن. ستحتاج فيه ما تعلّمته عن المضاعفات، ثم م.م.أ حين يكون في السؤال عددان.

عدد مضاعفات ك من ١ إلى ن هو الجزء الصحيح من ناتج ن ÷ ك، أي تهمل الباقي. مثلًا: من ١ إلى ٥٠ يوجد ١٦ مضاعفًا لـ٣، لأن ٥٠ ÷ ٣ = ١٦ والباقي ٢.

إذا بدأ المجال من عدد غير ١، فحدّد أول مضاعف داخل المجال وآخر مضاعف فيه، ثم احسب: (الأخير − الأول) ÷ ك + ١. الواحد المضاف هو المضاعف الأول نفسه، لأن الطرح يعدّ المسافات بين المضاعفات لا المضاعفات.

اقرأ صياغة الطرفين جيدًا. «من ... إلى» تشمل الطرفين عادة، أما «أكبر من ... وأصغر من» فتستبعدهما. وحين تأتي كلمة «بين» وأحد الطرفين مضاعف، ابحث في السؤال عن ما يبيّن هل يدخل الطرف أم لا.

والفكرة نفسها تحل أسئلة النسبة المقيّدة بمجال. إذا كانت نسبة عددين ٣ : ١١، فالعدد الأكبر مضاعف لـ١١، فابحث عن مضاعف ١١ الذي يقع في المجال المعطى.

إذا سُئلت عن الأعداد التي تقبل القسمة على عددين معًا، فعدّ مضاعفات م.م.أ لهما. وإذا سُئلت عن التي تقبل القسمة على هذا أو ذاك، فاجمع عدد مضاعفات كل منهما ثم اطرح المشترك، لأنه عُدّ مرتين.