زوايا المضلعات وأقطارها

صِل رأسًا واحدًا بالرؤوس غير المجاورة له، فينقسم المضلع إلى مثلثات عددها عدد الأضلاع ناقص ٢.

لذلك: مجموع الزوايا الداخلية = (ن − ٢) × ١٨٠°.

احفظ: الرباعي ٣٦٠°، والخماسي ٥٤٠°، والسداسي ٧٢٠°.

لإيجاد زاوية ناقصة، أو مجموع زاويتين مجهولتين: اطرح الزوايا المعلومة من المجموع الكلي.

لإيجاد عدد الأضلاع من المجموع: اقسم المجموع على ١٨٠° ثم أضف ٢.

في المضلع المقعر تبقى القاعدة كما هي، والزاوية الداخلية عند رأس الانثناء = ٣٦٠° − الزاوية المرسومة خارج الشكل.

في الرباعي المقعر تساوي هذه الزاوية الخارجية مجموع الزوايا الثلاث الأخرى.

الزاوية الخارجية تقع بين الضلع وامتداد الضلع المجاور، وهي والداخلية عند الرأس نفسه مجموعهما ١٨٠°.

مجموع الزوايا الخارجية ٣٦٠° لأي مضلع، مهما كان عدد أضلاعه.

في المضلع المنتظم فقط: الخارجية = ٣٦٠° ÷ ن، والداخلية = ١٨٠° − الخارجية.

وبالعكس: احسب الخارجية من الداخلية، ثم ن = ٣٦٠° ÷ الخارجية.

القطر يصل بين رأسين غير متجاورين.

من كل رأس يخرج ن − ٣ أقطار، وكل قطر يُعدّ مرتين، مرة من كل طرف.

عدد الأقطار = ن × (ن − ٣) ÷ ٢.

إذا أُعطيت عدد الأقطار: ابحث عن عددين الفرق بينهما ٣ وحاصل ضربهما ضعف عدد الأقطار.

تعرف أن مجموع زوايا المثلث ١٨٠°. هذه الحقيقة وحدها تكفي لمعرفة مجموع زوايا أي مضلع، لأن كل مضلع يمكن تقسيمه إلى مثلثات.

اختر رأسًا واحدًا، وصِله بكل الرؤوس غير المجاورة له. ستحصل دائمًا على عدد من المثلثات أقل من عدد الأضلاع باثنين.

زوايا هذه المثلثات تملأ زوايا المضلع تمامًا. لذلك إذا كان عدد أضلاع المضلع ن فإن: مجموع الزوايا الداخلية = (ن − ٢) × ١٨٠°.

لاحظ أن كل ضلع إضافي يزيد المجموع ١٨٠°: الرباعي ٣٦٠°، والخماسي ٥٤٠°، والسداسي ٧٢٠°. احفظ هذه الثلاثة لأنها الأكثر ورودًا.

أكثر ما يُسأل عنه هو زاوية ناقصة، أو مجموع زاويتين مجهولتين. اكتب المجموع الكلي، ثم اطرح منه الزوايا المعلومة.

وقد يُعطى المجموع ويُطلب عدد الأضلاع. اقسم المجموع على ١٨٠° لتعرف عدد المثلثات، ثم أضف ٢.

القاعدة نفسها تصح في المضلع المقعر، وهو المضلع الذي ينثني فيه رأس إلى الداخل. الفرق الوحيد أن الزاوية الداخلية عند رأس الانثناء أكبر من ١٨٠°.

إذا رُسمت عند رأس الانثناء الزاوية الصغيرة س الواقعة خارج الشكل، فالزاوية الداخلية هناك ٣٦٠° − س. عوّض بها في مجموع الرباعي ٣٦٠° تجد أن س تساوي مجموع الزوايا الثلاث الأخرى.

كل ما سبق كان عن الزوايا الداخلية. ننتقل الآن إلى الزاوية الخارجية، لأنها أقصر طريق إلى زوايا المضلع المنتظم. إذا مددت أحد الأضلاع عند رأس، تتكوّن بين الامتداد والضلع التالي زاوية خارجية. هي والزاوية الداخلية عند الرأس نفسه تقعان على خط مستقيم، فمجموعهما ١٨٠°.

مجموع الزوايا الخارجية، بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس، يساوي ٣٦٠° دائمًا مهما كان عدد الأضلاع. تخيّل أنك تمشي على حدود المضلع: عند كل رأس تنعطف بمقدار الزاوية الخارجية، وحين تعود إلى نقطة البداية تكون قد أكملت دورة كاملة.

والحساب يؤكد ذلك: عند كل رأس داخلية + خارجية = ١٨٠°، فمجموع الكل ن × ١٨٠°. اطرح منه مجموع الداخليات (ن − ٢) × ١٨٠° فيبقى ٢ × ١٨٠° = ٣٦٠°.

المضلع المنتظم أضلاعه متساوية وزواياه متساوية، فزواياه الخارجية متساوية أيضًا وتقتسم ٣٦٠° بالتساوي. لذلك: الزاوية الخارجية = ٣٦٠° ÷ ن، والزاوية الداخلية = ١٨٠° − الخارجية.

والعكس ممكن أيضًا: إذا عرفت زاوية المضلع المنتظم فاحسب منها الخارجية، ثم اقسم ٣٦٠° عليها لتحصل على عدد الأضلاع.

انتبه: القسمة بالتساوي لا تصح إلا إذا نصّ السؤال على أن المضلع منتظم. في المضلع غير المنتظم تختلف الزوايا، ولا تعرف إلا مجموعها.

بقيت الأقطار، وهي مرتبطة بالخطوط التي قسّمنا بها المضلع إلى مثلثات في بداية الدرس. القطر قطعة تصل بين رأسين غير متجاورين. أما القطعة بين رأسين متجاورين فهي ضلع، وليست قطرًا.

من أي رأس في مضلع له ن رأسًا لا يمكنك أن ترسم قطرًا إلى الرأس نفسه ولا إلى جاريه، فيخرج منه ن − ٣ أقطار.

لو ضربت ن − ٣ في عدد الرؤوس ن لعددت كل قطر مرتين، مرة من كل طرف من طرفيه. لذلك تقسم على ٢: عدد الأقطار = ن × (ن − ٣) ÷ ٢.