المقارنة والتقدير

لا تحسب القيمتين. اكتب الطرفين بمرجع مشترك: أساس واحد، أو أس واحد، أو مربعان كاملان يحصران العدد.

مع الأساس الواحد يحدد الأساس الاتجاه:

الأساس أكبر من ١: الأس الأكبر يعطي قيمة أكبر.

الأساس بين ٠ و١: الأس الأكبر يعطي قيمة أصغر.

الأساس ١: القيمة ١ مهما كان الأس.

الأساس سالب: ابدأ بالإشارة. الأس الزوجي يعطي عددًا موجبًا، والأس الفردي يعطي عددًا سالبًا.

الأساس مجهول مثل س: جرّب عددًا أكبر من ١ وعددًا بين ٠ و١. إن اختلفت النتيجة فالمعطيات غير كافية.

إن اختلف الأساسان فوحّدهما، مثل ٩ = ٣² و ٢٧ = ٣³.

إن تعذّر ذلك فوحّد الأسين بعدد يقسمهما معًا.

إن جاءت القوى مجموعة فلا تجمع الأسس، بل أخرج أصغر قوة عاملًا مشتركًا.

رمز الجذر يعني القيمة الموجبة وحدها.

لمقارنة الجذور ربّع الطرفين الموجبين، فالأكبر مربعًا هو الأكبر.

الجذر لا يتوزع على الجمع: اجمع ما تحت الجذر أولًا، ثم خذ الجذر.

للتقدير احصر العدد بين مربعين كاملين متتاليين. احفظ المربعات حتى ١٥² = ٢٢٥.

إن تقاربت الخيارات فضيّق الحصر بمربع المنتصف: مربع العدد المنتهي بنصف يساوي حاصل ضرب العددين الصحيحين حوله مضافًا إليه ٠٫٢٥.

في أسئلة «أقرب عدد» اتبع الترتيب: قرّب الأجزاء الصغيرة مع ملاحظة اتجاه التقريب، ثم احصر الجذر، ثم نفّذ العملية بترتيبها الصحيح.

في أسئلة المقارنة لا تحتاج غالبًا إلى حساب القيمتين، بل إلى معرفة أيّهما أكبر. والطريقة واحدة في كل حالات هذا الدرس: اكتب الطرفين بمرجع مشترك تتضح به المقارنة، وهو أساس واحد، أو أس واحد، أو مربعان كاملان تعرفهما.

ابدأ بأبسط حالة: إذا كانت الأعداد صغيرة فاحسب كل طرف مباشرة. القوة ضربٌ متكرر للعدد في نفسه. والجذر التربيعي هو العدد الذي إذا ضربته في نفسه أعطاك ما تحت الجذر.

حين تكبر الأسس يصبح الحساب بطيئًا، فنقارن دون حساب. أسهل ذلك قوتان لهما الأساس نفسه، كأن تقارن ${\mathrm{٢}}^{\mathrm{٤}}$ بـ ${\mathrm{٢}}^{\mathrm{٥}}$. فهل الأس الأكبر يعني دائمًا قيمة أكبر؟ الجواب يتوقف على الأساس.

إذا كان الأساس أكبر من ١ فكل زيادة في الأس تعني ضربًا إضافيًا في عدد أكبر من ١، فتكبر القيمة. وإذا كان الأساس بين ٠ و١ فكل زيادة تعني ضربًا إضافيًا في كسر، والضرب في كسر يُصغّر، فتصغر القيمة.

بقيت حالتان. الأساس ١ قواه كلها تساوي ١ مهما كان الأس. والأساس السالب تبدأ فيه بالإشارة: الأس الزوجي يعطي عددًا موجبًا، والأس الفردي يعطي عددًا سالبًا، وأي عدد موجب أكبر من أي عدد سالب.

لهذا إذا كان الأساس مجهولًا، مثل س، ولم تعرف أين يقع، فلا تحكم من الأس وحده. جرّب عددًا أكبر من ١ وعددًا بين ٠ و١، فإن اختلفت النتيجة فالمعطيات غير كافية.

فإن اختلف الأساسان فحاول توحيدهما. اكتب كل أساس قوةً لعدد أصغر، مثل ٤ = ٢² و ٨ = ٢³ و ٩ = ٣² و ٢٧ = ٣³. وتذكّر أن رفع قوة إلى قوة يضرب الأسين، فمثلًا $({\mathrm{٢}}^{\mathrm{٣}}{)}^{\mathrm{٢}}={\mathrm{٢}}^{\mathrm{٦}}$.

وإن تعذّر توحيد الأساسين فوحّد الأسين بدلًا منهما: ابحث عن عدد يقسم الأسين معًا، ثم قارن الأساسين الجديدين. فإذا تساوى الأس الموجب، أعطى الأساس الموجب الأكبر القيمة الأكبر.

قد تأتيك القوى مجموعة لا مضروبة. هنا لا تجمع الأسس، فجمع الأسس خاص بضرب قوتين لهما الأساس نفسه. اكتب كل حد بدلالة أصغر قوة، ثم أخرجها عاملًا مشتركًا، فتصير المقارنة بين عددين صغيرين.

بعد القوى ننتقل إلى الجذور، والفكرة نفسها تتكرر. رمز الجذر التربيعي يعني الجذر الموجب وحده، فجذر ٤٩ هو ٧ فقط. وفي الأعداد الموجبة، كلما كبر العدد تحت الجذر كبر جذره.

لمقارنة جذر بعدد، أو مقارنة مقدارين فيهما جذور، ربّع الطرفين فيختفي الجذر. يصح ذلك ما دام الطرفان موجبين: الأكبر مربعًا هو الأكبر.

انتبه إلى أن الجذر لا يتوزع على الجمع، فجذر المجموع لا يساوي مجموع الجذرين. اجمع ما تحت الجذر أولًا ثم خذ الجذر. والرسم يبيّن لماذا يكون جذر المجموع أصغر دائمًا حين يكون العددان موجبين.

كل ما سبق تعامل مع مربعات كاملة. فإذا جاءك عدد ليس مربعًا كاملًا، مثل ٥٠، فلا تحاول حساب جذره. احصره بين مربعين كاملين متتاليين، فيقع جذره بين جذريهما: ٥٠ بين ٤٩ و ٦٤، إذن جذره بين ٧ و ٨.

لهذا احفظ المربعات الكاملة حتى ١٥²: ١، ٤، ٩، ١٦، ٢٥، ٣٦، ٤٩، ٦٤، ٨١، ١٠٠، ١٢١، ١٤٤، ١٦٩، ١٩٦، ٢٢٥.

إذا تقاربت الخيارات فلا تقرّب مبكرًا، بل ضيّق الحصر بمربع المنتصف. مربع العدد المنتهي بنصف يساوي حاصل ضرب العددين الصحيحين حوله مضافًا إليه ٠٫٢٥، فمثلًا ٧٫٥² = ٧ × ٨ + ٠٫٢٥ = ٥٦٫٢٥. وبما أن ٥٠ أصغر من ٥٦٫٢٥، فجذر ٥٠ أصغر من ٧٫٥.

في أسئلة «أقرب عدد إلى مقدار» اتبع ثلاث خطوات: قرّب الأجزاء الصغيرة أولًا مع ملاحظة اتجاه التقريب، ثم احصر الجذر، ثم نفّذ العملية بترتيبها الصحيح. وهنا يفيدك ما تعلّمته في أول الدرس: العدد الذي بين ٠ و١ مربعه أصغر منه.