الإشارات وترتيب الأعداد

الأكبر هو الواقع إلى اليمين على خط الأعداد.

كل موجب أكبر من الصفر، والصفر أكبر من كل سالب.

ومن بين عددين سالبين، الأقرب إلى الصفر هو الأكبر: −٣ > −٧.

القيمة المطلقة |س| هي بُعد العدد عن الصفر، فلا تكون سالبة: |−٤| = |٤| = ٤.

لذلك من بين عددين سالبين، صاحب القيمة المطلقة الأكبر هو الأصغر.

البعد بين عددين = الأكبر ناقص الأصغر.

الأقرب إلى عدد هو صاحب أصغر بُعد عنه، أكان أكبر منه أم أصغر.

احسب ما بين الخطين أولًا: |٣ − ١١| = ٨، وليست |٣| − |١١|.

الإشارة السالبة خارج الخطين تبقى: −|−٥| = −٥.

لمقارنة عددين عشريين حاذِ الفاصلتين، وأكمل الأقصر بأصفار، ثم قارن من اليسار. أول منزلة مختلفة تحسم المقارنة.

في ضرب العشريات: منازل الناتج = مجموع منازل العوامل.

قسمة عدد موجب على عدد موجب أصغر من ١ تعطي ناتجًا أكبر منه: ٢ ÷ ٠٫٢ = ١٠.

احسب الضرب والقسمة قبل الجمع والطرح.

في الضرب والقسمة: الإشارتان المتشابهتان تعطيان موجبًا، والمختلفتان تعطيان سالبًا.

مع أكثر من عاملين عُدّ السوالب فقط: عددها زوجي فالناتج موجب، وفردي فالناتج سالب.

إذا كان بين العوامل صفر فالناتج صفر، والصفر ليس موجبًا ولا سالبًا.

القسمة على الصفر غير معرّفة.

الأس الزوجي يجعل الناتج موجبًا، والفردي يُبقي إشارة الأساس: (−٢)³ = −٨.

وانتبه لموضع الإشارة: (−٣)² = ٩، أما −٣² = −٩.

كل مقارنة بين عددين ترجع إلى خط الأعداد. الصفر في الوسط، والأعداد الموجبة على يمينه، والسالبة على يساره. وكلما انتقلت على الخط إلى اليمين كبر العدد.

لتقارن بين عددين اسأل نفسك سؤالًا واحدًا: أيهما يقع إلى اليمين؟ ذلك هو الأكبر. ويترتب على ذلك أن أي عدد موجب أكبر من الصفر، وأن الصفر أكبر من أي عدد سالب.

معظم الأخطاء تقع مع الأعداد السالبة. خذ −٧ و−٣: العدد ٧ أكبر من ٣، لكن −٧ يقع على يسار −٣، فهو الأصغر. وبعبارة أخرى: من بين عددين سالبين، الأقرب إلى الصفر هو الأكبر.

القاعدة نفسها تنطبق على الأعداد العشرية. لكن عندما يتقارب عددان عشريان كثيرًا يصعب تخيّل موضعيهما على الخط، فتحتاج إلى طريقة مباشرة هي محاذاة المنازل.

اكتب العددين أحدهما تحت الآخر بحيث تقع الفاصلتان العشريتان على استقامة واحدة، وأكمل العدد الأقصر بأصفار في آخره، فهذه الأصفار لا تغيّر قيمته. ثم قارن الأرقام منزلة منزلة بدءًا من يسار العدد، وأول منزلة يختلف فيها الرقمان تحسم المقارنة.

لا يخدعك طول العدد: في ٠٫٠٠٢٩ أرقام أكثر، لكنه الأصغر. العبرة بقيمة المنزلة لا بعدد الأرقام.

كثيرًا ما يأتي أحد العددين في صورة ضرب أعداد عشرية. اضرب الأرقام متجاهلًا الفاصلة، ثم ضع الفاصلة بحيث يكون عدد المنازل العشرية في الناتج مساويًا لمجموع المنازل العشرية في جميع العوامل.

القسمة على عدد عشري أصغر من ١ تعطي ناتجًا أكبر من المقسوم. فمثلًا ٢ ÷ ٠٫٢ = ١٠، لأن السؤال هنا: كم مرة يتكرر ٠٫٢ ليكوّن ٢؟ وتتحقق من ذلك بالضرب: ٠٫٢ × ١٠ = ٢. لا تحسبها ضربًا في ٠٫٢، ولا قسمة على ٢٠.

رأيت أن مقارنة الأعداد السالبة تعتمد على قربها من الصفر. هذا البعد عن الصفر له اسم هو القيمة المطلقة، ويُكتب العدد بين خطين هكذا: |س|.

القيمة المطلقة مسافة، والمسافة لا تكون سالبة أبدًا. لذلك |−٤| = ٤ و|٤| = ٤، لأن كليهما يبعد ٤ وحدات عن الصفر، و|٠| = ٠. وعمليًا: القيمة المطلقة تحذف الإشارة السالبة وتُبقي العدد الموجب كما هو.

من هنا يأتي الفخ الأشهر: من بين عددين سالبين، صاحب القيمة المطلقة الأكبر هو الأصغر، لأنه الأبعد عن الصفر جهة اليسار. فالقيمة المطلقة لـ−٧ أكبر من القيمة المطلقة لـ−٣، أي |−٧| > |−٣|، ومع ذلك −٧ < −٣.

المسافة لا تُقاس من الصفر فقط. البعد بين أي عددين يساوي الأكبر منهما ناقص الأصغر، أي |أ − ب|. فإذا سُئلت عن أقرب قيمة إلى عدد معيّن، فاحسب بعد كل خيار عن ذلك العدد واختر صاحب أصغر بعد، سواء أكان الخيار أكبر من العدد أم أصغر منه.

عندما تظهر القيمة المطلقة داخل عملية حسابية فعاملها معاملة الأقواس: احسب ما بين الخطين أولًا، ثم خذ القيمة المطلقة للناتج، ثم أكمل بترتيب العمليات. أما الإشارة السالبة الواقعة خارج الخطين فتبقى كما هي: −|−٥| = −٥.

عرفت الآن أين يقع العدد وكم يبعد عن الصفر. بقي أن تعرف ما يحدث للإشارة عند الضرب والقسمة، وعلى هذا تُبنى أسئلة من نوع: أي مما يلي يجب أن يكون موجبًا؟

في الضرب انظر إلى إشارتي العاملين أولًا: إذا تشابهتا فالناتج موجب، وإذا اختلفتا فالناتج سالب. ثم احسب مقدار الناتج كالمعتاد.

القسمة تتبع القاعدة نفسها: (−١٥) ÷ (−٣) = ٥، و١٥ ÷ (−٣) = −٥. ولا تنسَ أن القسمة على الصفر غير معرّفة، فالمقسوم عليه لا يكون صفرًا أبدًا.

فماذا لو كانت العوامل أكثر من اثنين؟ كل عاملين سالبين معًا يعطيان موجبًا، لذلك العبرة بعدد العوامل السالبة فقط: إذا كان عددها زوجيًا فالناتج موجب، وإذا كان فرديًا فالناتج سالب. والعوامل الموجبة لا تغيّر الإشارة. أما إذا كان بين العوامل صفر فالناتج صفر، والصفر ليس موجبًا ولا سالبًا.

القوة ضرب متكرر، فتنطبق عليها القاعدة نفسها. في (−٢)⁴ أربعة عوامل سالبة، فالناتج موجب ويساوي ١٦. وفي (−٢)³ ثلاثة عوامل سالبة، فالناتج −٨. إذن الأس الزوجي يجعل الناتج موجبًا، والأس الفردي يُبقي إشارة الأساس كما هي.

انتبه إلى موضع الإشارة. في (−٣)² تقع الإشارة داخل القوس فتُربَّع مع العدد. أما في −٣² فالتربيع للعدد ٣ وحده، ثم توضع الإشارة السالبة أمام الناتج.

في الأسئلة التي تحتوي متغيرات لا تحتاج إلى قيم، بل إلى إشارات فقط. حدد إشارة كل متغير وإشارة كل قوة منه، ثم طبّق قاعدة عدد السوالب.

انتبه إلى الصفر أيضًا: إذا قيل إن س عدد ما دون استبعاد الصفر، فقد يكون س² صفرًا، فلا يصح أن تقول إنه موجب حتمًا. عبارة «س سالب» أو «س < ٠» هي التي تستبعد الصفر.

وقد تجتمع أفكار الدرس كلها في سؤال حسابي واحد: قيمة مطلقة، وقسمة على عدد سالب، وترتيب عمليات.