الأشكال المنتظمة داخل الدائرة

صِل مركز الدائرة برؤوس الشكل المنتظم المرسوم فيها. كل رأس يبعد عن المركز نق، فتظهر مثلثات تربط الضلع ل بنصف القطر.

المربع: قطره يمر بالمركز، فهو قطر الدائرة ق.

بفيثاغورس: ل² + ل² = ق²، إذن المساحة = ق² ÷ ٢.

والضلع = ق ÷ √٢ = نق√٢.

السداسي المنتظم: ينقسم إلى ٦ مثلثات، زاوية كل منها عند المركز ٦٠°، فكلها متطابقة الأضلاع.

إذن ضلعه = نق، ومحيطه = ٦نق.

المثلث المتطابق الأضلاع: صِل رؤوس السداسي رأسًا وتاركًا رأسًا.

بفيثاغورس: ضلعه = نق√٣، وبالعكس نق = الضلع ÷ √٣.

وارتفاعه = ٣نق ÷ ٢.

انتبه إلى موضع الدائرة: إن كانت داخل المربع تمسّ أضلاعه، فقطرها = ضلع المربع لا قطره.

وهذه العلاقات للأشكال المنتظمة التي رؤوسها على الدائرة فقط. المستطيل مثلًا قطره = قطر الدائرة، لكن علاقة ق² ÷ ٢ لا تصلح له.

المضلع المرسوم داخل دائرة هو مضلع تقع كل رؤوسه على محيط الدائرة، ويُقال أيضًا إن الدائرة محيطة به. إذا كان المضلع منتظمًا، أي أضلاعه متساوية وزواياه متساوية، فمركزه هو مركز الدائرة نفسه.

على هذه الفكرة يقوم الدرس كله: المسافة من المركز إلى أي رأس تساوي نصف القطر نق. فإذا وصلت المركز بالرؤوس ظهرت مثلثات أضلاعها أنصاف أقطار، ومن هذه المثلثات تحسب ضلع المضلع.

سنطبّق هذه الفكرة على الأشكال الثلاثة التي يأتي عنها السؤال في الاختبار، ونبدأ بالمربع لأنه الأسهل.

قطر المربع هو القطعة الواصلة بين رأسين متقابلين فيه. في المربع المرسوم داخل دائرة، يمر هذا القطر بالمركز وطرفاه على الدائرة، فهو قطر للدائرة أيضًا.

إذن قطر المربع يساوي قطر الدائرة. أما ضلع المربع فأقصر من قطر الدائرة ولا يساويه.

المثلث المظلل قائم الزاوية، ضلعاه القائمان ضلعا المربع ل، ووتره القطر ق. بنظرية فيثاغورس: ل² + ل² = ق²، أي ٢ل² = ق².

ولأن مساحة المربع هي ل²، نحصل مباشرة على: مساحة المربع = ق² ÷ ٢. فإذا سُئلت عن المساحة لا تحتاج إلى حساب الضلع. وإذا طُلب الضلع فهو ل = ق ÷ √٢.

انتبه إلى موضع الدائرة. قد تكون الدائرة داخل المربع تمسّ أضلاعه، وعندها تتغيّر العلاقة.

إذا كانت الدائرة داخل المربع امتدّ قطرها من ضلع إلى الضلع المقابل، فيكون قطر الدائرة مساويًا لضلع المربع. ومن هنا ينتج أن المربع المرسوم حول دائرة مساحته ضعف مساحة المربع المرسوم داخلها.

ننتقل الآن إلى السداسي المنتظم، وفيه تظهر فكرة المثلثات الخارجة من المركز بأوضح صورة.

صِل المركز بالرؤوس الستة، فينقسم السداسي إلى ٦ مثلثات متطابقة. الزاوية الكاملة حول المركز ٣٦٠°، فزاوية كل مثلث عند المركز ٣٦٠ ÷ ٦ = ٦٠°.

في كل مثلث ضلعان طول كل منهما نق، فهو متطابق الضلعين، وزاويتا قاعدته متساويتان، كل منهما (١٨٠ − ٦٠) ÷ ٢ = ٦٠°. زواياه الثلاث إذن ٦٠°، فهو متطابق الأضلاع، وضلعه الثالث، وهو ضلع السداسي، يساوي نق أيضًا.

إذن في السداسي المنتظم المرسوم داخل دائرة: ضلع السداسي = نصف القطر، ومحيطه = ٦ × نق، أي ٣ أمثال قطر الدائرة.

السداسي يوصلك مباشرة إلى المثلث المتطابق الأضلاع. سمِّ رؤوس السداسي أ، ب، ج، د، هـ، و، ثم صِل رأسًا واترك رأسًا: أ ثم ج ثم هـ. تحصل على مثلث متطابق الأضلاع مرسوم في الدائرة نفسها.

لتحسب ضلعه أج، انظر إلى المثلث أ ج د. الضلع أد قطر الدائرة وطوله ٢نق. الضلع ج د ضلع في السداسي فطوله نق. والزاوية عند ج قائمة، لأن كل زاوية مرسومة على قطر الدائرة قائمة.

بنظرية فيثاغورس في المثلث أ ج د: أج² = (٢نق)² − نق² = ٤نق² − نق² = ٣نق²، إذن أج = نق√٣. فضلع المثلث المتطابق الأضلاع = نق√٣، وبالعكس نق = الضلع ÷ √٣.

ومن المفيد أيضًا أن ارتفاع هذا المثلث = ٣نق ÷ ٢، لأن المركز يقسم الارتفاع إلى نق من جهة الرأس ونق ÷ ٢ من جهة القاعدة.

ضع العلاقات الثلاث جنبًا إلى جنب تجد نمطًا يسهل حفظه. ضلع المربع = ق ÷ √٢ = ٢نق ÷ √٢ = نق√٢. فالعدد المضروب في نق هو √٣ للمثلث، و√٢ للمربع، و١ للسداسي، وكلما زاد عدد الأضلاع قصر الضلع.

هذه العلاقات صحيحة فقط إذا كان الشكل منتظمًا ورؤوسه على الدائرة. المستطيل المرسوم في دائرة مثلًا قطره يساوي قطر الدائرة، لكن ضلعيه غير متساويين، فلا تصلح له علاقة ق² ÷ ٢. لا تفترض الانتظام إلا إذا نصّ عليه السؤال (مربع، مثلث متطابق الأضلاع، سداسي منتظم) أو دلّ عليه الشكل.