المتمم والتركيب

الاحتمال = عدد النتائج المطلوبة ÷ عدد كل النتائج، وقيمته بين ٠ و١.

المتمم: احتمال ألّا يقع الحدث = ١ − احتمال وقوعه.

استعمله إذا كان عدّ «ما لا يقع» أسهل، ومن علاماته «ليس» و«لا» و«على الأقل».

إذا وُضع شرطان على النتيجة نفسها:

«و» (التقاطع): عُدّ المشترك وحده.

«أو» (الاتحاد): الأول + الثاني − المشترك، لأن المشترك عُدّ مرتين.

وبالاحتمالات: احتمال (أ أو ب) = احتمال أ + احتمال ب − احتمال (أ و ب).

إن كان الحدثان متنافيين فالمشترك صفر، فاجمع مباشرة.

في تجربتين متتاليتين (عملة ثم نرد، أو سحب متتابع) اضرب الاحتمالين.

لا تضرب شرطين على البطاقة نفسها.

مع الإرجاع يبقى الكيس كما هو.

دون إرجاع يقل المقام واحدًا، ويقل البسط إن كانت المسحوبة من اللون المطلوب.

إن لم يُحدَّد الترتيب فاجمع احتمالات الطرق كلها:

إحداهما حمراء والأخرى زرقاء = ٢٤/٩٠ + ٢٤/٩٠ = ٨/١٥.

احتمال «على الأقل واحدة» = ١ − احتمال «ولا واحدة»:

حمراء واحدة على الأقل = ١ − (٦/١٠ × ٥/٩) = ١ − ١/٣ = ٢/٣.

ابدأ مما تعرفه: الاحتمال = عدد النتائج المطلوبة ÷ عدد كل النتائج الممكنة، وقيمته دائمًا بين ٠ و١. كل ما في هذا الدرس مبنيّ على هذه القسمة، لكنه يعلّمك كيف تعدّ بسرعة ودون خطأ عندما يكون السؤال مركّبًا.

أول فكرة هي المتمم. كل نتيجة إما أن يقع فيها الحدث أو لا يقع، ولا خيار ثالث. لذلك يكون مجموع احتمال «يقع» واحتمال «لا يقع» مساويًا ١ دائمًا، ومنه: احتمال ألّا يقع الحدث = ١ − احتمال وقوعه.

متى تلجأ إلى المتمم؟ عندما يكون عدّ «ما لا يقع» أسهل من عدّ «ما يقع». الكلمات التي تنبّهك إلى ذلك: «ليس»، «لا»، «على الأقل». ستعود إلى «على الأقل» في آخر الدرس بعد أن تتعلّم الضرب.

ننتقل الآن إلى سؤال يضع شرطين على النتيجة نفسها، كأن يُطلب رقم يقبل القسمة على ٣ و٥، أو على ٣ أو ٥. أوضح طريقة للتفكير هي أن ترسم كل شرط دائرة، وتضع الأعداد المشتركة في منطقة التداخل بين الدائرتين.

«و» تعني التقاطع: النتائج التي تحقّق الشرطين معًا، وهي منطقة التداخل وحدها. في الرسم لا يحقّق الشرطين إلا ١٥، فاحتمال أن يقبل رقم البطاقة القسمة على ٣ و٥ معًا هو ١/٢٠. وللاختصار: الأعداد التي تقبل القسمة على ٣ و٥ معًا هي مضاعفات ١٥، أي مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر.

«أو» تعني الاتحاد: النتائج التي تحقّق شرطًا واحدًا على الأقل، أي كل ما في الدائرتين. إذا جمعت عدد الدائرة الأولى وعدد الثانية فقد عددت المنطقة المشتركة مرتين، لذلك تطرحها مرة واحدة: العدد = الأول + الثاني − المشترك.

طريقة سريعة لعدّ المضاعفات: عدد مضاعفات ٣ من ١ إلى ٢٠ هو ناتج قسمة ٢٠ على ٣ بعد إهمال الباقي، أي ٦. وبالطريقة نفسها عدد مضاعفات ٥ هو ٤، وعدد مضاعفات ١٥ هو ١.

قد تُعطى الاحتمالات جاهزة بدل الأعداد، والقاعدة هي نفسها: احتمال (أ أو ب) = احتمال أ + احتمال ب − احتمال (أ و ب). وإذا كان الحدثان متنافيين، أي لا يمكن أن يقعا معًا، كظهور ٢ وظهور ٥ في رمية نرد واحدة، فالمشترك صفر وتجمع الاحتمالين مباشرة: ١/٦ + ١/٦ = ٢/٦ = ١/٣.

كان الشرطان حتى الآن على بطاقة واحدة. أما إذا كانت هناك تجربتان منفصلتان لا تؤثر نتيجة إحداهما في الأخرى، كرمي عملة ثم رمي نرد، فالحدثان مستقلان، واحتمال وقوعهما معًا هو حاصل ضرب احتماليهما. انظر في الرسم لماذا يكون الضرب هو الصحيح.

لا تضرب احتمالي شرطين على البطاقة نفسها. في مثال البطاقات، ٦/٢٠ × ٤/٢٠ لا يساوي الجواب الصحيح ١/٢٠. الضرب خاص بتجربتين، أما الشرطان على نتيجة واحدة فتعدّ لهما منطقة التداخل.

السحب المتتابع من كيس هو أيضًا تجربتان متتاليتان، فاحتمال «الأولى كذا والثانية كذا» يُحسب بالضرب. يبقى أن تسأل: هل تغيّر ما في الكيس بين السحبتين؟

مع الإرجاع: تُعاد الكرة المسحوبة إلى الكيس، فيعود الكيس كما كان تمامًا، ويبقى احتمال السحبة الثانية مثل الأولى. السحبتان هنا مستقلتان كالعملة والنرد.

دون إرجاع: الكرة الأولى تبقى خارج الكيس، فيقل عدد الكرات واحدًا، ومن ثَمّ يقل المقام في السحبة الثانية واحدًا دائمًا. أما البسط فيقل واحدًا إذا كانت المسحوبة من اللون نفسه المطلوب الآن، ويبقى كما هو إذا كانت من لون آخر.

انتبه إلى الترتيب. «حمراء ثم زرقاء» طريق واحد. أما «إحداهما حمراء والأخرى زرقاء» فلها طريقان: حمراء ثم زرقاء، أو زرقاء ثم حمراء. الطريقان لا يقعان معًا، فهما متنافيان، ولذلك تجمع احتماليهما.

نعود الآن إلى المتمم لنستعمله مع الضرب. عبارة «على الأقل واحدة» تشمل حالات كثيرة، لكن عكسها حالة واحدة فقط هي «ولا واحدة». احسب هذه الحالة الواحدة ثم اطرحها من ١.