الخصائص والزوايا

مجموع زوايا المثلث ١٨٠° دائمًا، فالزاوية الثالثة = ١٨٠° − مجموع الزاويتين المعلومتين.

الزاوية الخارجية تقع بين ضلع وامتداد ضلع آخر، وتكمّل الداخلية المجاورة لها إلى ١٨٠°.

وهي تساوي مجموع الداخليتين البعيدتين عنها، فلا تحتاج إلى حساب الداخلية أولًا.

علامات الرسم تكشف نوع المثلث: الشرطات المتماثلة تعني أضلاعًا متساوية، والمربع في الركن يعني زاوية قائمة.

ونوع المثلث يكمل لك الزوايا:

المتطابق الأضلاع: كل زاوية فيه ٦٠°.

المتساوي الساقين: زاويتا القاعدة متساويتان، فتكفيك زاوية واحدة لتعرف الثلاث.

القائم: مجموع الحادتين ٩٠°، وإن كان متساوي الساقين أيضًا فكل منهما ٤٥°.

المثلث الذي رأسه مركز الدائرة وضلعاه نصفا قطر متساوي الساقين حتمًا.

أكبر زاوية تقابل أطول ضلع، وأصغر زاوية تقابل أقصر ضلع.

والقطعتان اللتان تحملان العلامة نفسها ضع إحداهما مكان الأخرى في أي مجموع.

تصلح ثلاثة أطوال لمثلث إذا كان مجموع الأصغرين أكبر من الأكبر. المساواة لا تكفي، لأنها تعطي خطًا مستقيمًا.

وإذا عُلم طولا ضلعين، فالضلع الثالث أكبر من فرقهما وأصغر من مجموعهما، والحدّان مستبعدان.

في المثلثين المتطابقين تتساوى الأضلاع المتناظرة والزوايا المتناظرة.

في أ ب ج ≅ د هـ و يحدد ترتيب الحروف التناظر: أ ↔ د، ب ↔ هـ، ج ↔ و، والضلع ب ج يناظر هـ و.

وإذا لم تُكتب أسماء المثلثين فاستدل بالعلامات، لا بموضع الزاوية في الرسم.

وبعد أن تنقل القياس بالتطابق، أكمل الحل بمجموع الزوايا أو بنوع المثلث.

أبسط حقيقة في المثلث وأكثرها استعمالًا: مجموع زواياه الداخلية الثلاث ١٨٠° دائمًا، مهما كان شكله أو حجمه.

لماذا؟ ارسم من الرأس ج مستقيمًا يوازي القاعدة أ ب. بسبب التوازي تنتقل الزاوية التي عند أ إلى الأعلى فتظهر عند ج، وكذلك الزاوية التي عند ب. عندها تجتمع الزوايا الثلاث عند ج على خط مستقيم، والخط المستقيم ١٨٠°.

فإذا عرفت زاويتين في مثلث، فالثالثة هي ما يكمل مجموعهما إلى ١٨٠°.

وقد يطلب السؤال مجموع عدة زوايا دون أن يلزمك بإيجاد كل واحدة منها. عندئذ احسب مجموع ما تحتاجه من كل مثلث على حدة، ثم اجمع.

انتبه: الرقم ١٨٠° خاص بالمثلث. زوايا الشكل الرباعي مجموعها ٣٦٠°، والزوايا حول نقطة مجموعها ٣٦٠° أيضًا. قبل أن تستعمل ١٨٠° تأكد أن الزوايا التي تجمعها هي زوايا مثلث واحد.

ومن مجموع الزوايا نفسه تخرج خاصية ثانية توفّر عليك خطوة في كثير من الأسئلة، وهي الزاوية الخارجية.

إذا مددت أحد أضلاع المثلث إلى خارجه، تكوّنت زاوية خارجية بين هذا الامتداد والضلع المجاور له. الزاوية الخارجية والزاوية الداخلية المجاورة لها تقعان على خط مستقيم، فمجموعهما ١٨٠°.

والأهم أن الزاوية الخارجية تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها، أي غير المجاورتين لها. والسبب أن الزاوية الداخلية المجاورة يكمّلها إلى ١٨٠° شيئان: الزاوية الخارجية من جهة، ومجموع الزاويتين الأخريين من جهة أخرى، فلا بد أن يكونا متساويين.

استعملت حتى الآن مجموع الزوايا وحده. لكن كثيرًا من أسئلة القدرات لا تعطيك إلا زاوية واحدة، وتترك لك الباقي لتستنتجه من نوع المثلث، وتعرف نوعه من علامات الرسم.

الشرطات الصغيرة على الأضلاع تعني أن الأضلاع التي تحمل عدد الشرطات نفسه متساوية. والمربع الصغير في ركن المثلث يعني أن الزاوية قائمة، أي ٩٠°.

المثلث المتطابق الأضلاع أضلاعه الثلاثة متساوية، فزواياه الثلاث متساوية كذلك، وقياس كل منها ١٨٠° ÷ ٣ = ٦٠°.

المثلث المتساوي الساقين فيه ضلعان متساويان، والزاويتان المقابلتان لهما (زاويتا القاعدة) متساويتان. لذلك تكفيك زاوية واحدة منه لتعرف زواياه الثلاث.

المثلث القائم الزاوية فيه زاوية قياسها ٩٠°، فالزاويتان الأخريان مجموعهما ٩٠°. إذا عرفت إحداهما فاطرحها من ٩٠° لتحصل على الأخرى. وإذا كان المثلث قائمًا ومتساوي الساقين معًا، فكل من زاويتيه الحادتين ٤٥°.

وفي أي مثلث تقابل أكبر زاوية أطول ضلع، وتقابل أصغر زاوية أقصر ضلع. فإذا كانت زوايا مثلث ٣٠° و٦٠° و٩٠°، فأطول أضلاعه هو المقابل للزاوية ٩٠°، وأقصرها المقابل للزاوية ٣٠°.

وتظهر المثلثات الخاصة داخل الدائرة أيضًا دون علامات. أنصاف أقطار الدائرة كلها متساوية، فالمثلث الذي رأسه مركز الدائرة وضلعاه نصفا قطر هو مثلث متساوي الساقين حتمًا.

وإذا رُسم مثلث متطابق الأضلاع داخل دائرة، فأوتاره الثلاثة المتساوية تقسم الدائرة إلى ثلاثة أقواس متساوية، قياس كل منها ٣٦٠° ÷ ٣ = ١٢٠°. لا تخلط بين زاوية المثلث (٦٠°) والقوس الذي يقابله ضلعه (١٢٠°).

وعلامات التساوي تنقل الأطوال كما تنقل الزوايا. إذا حملت قطعتان العلامة نفسها، فضع إحداهما مكان الأخرى في أي مجموع، ولا تحاول حساب كل منهما بمفردها.

ننتقل الآن من الزوايا إلى الأضلاع. ليست كل ثلاثة أطوال تصنع مثلثًا. تخيّل ثلاث عصي: تضع الطويلة قاعدة، وتثبّت القصيرتين على طرفيها، ثم تحاول أن تلتقي القصيرتان فوق القاعدة.

إذا كان مجموع القصيرتين أقل من الطويلة، فلن تصل إحداهما إلى الأخرى. وإذا كان يساويها، التقتا على القاعدة نفسها فانبسط الشكل خطًا مستقيمًا بلا مساحة، وهذا ليس مثلثًا. لا يتكوّن مثلث إلا إذا كان المجموع أكبر من الطويلة.

لذلك يكفيك اختبار واحد سريع: رتّب الأطوال، ثم قارن مجموع الأصغرين بالأكبر. إذا كان المجموع أكبر فالمثلث ممكن، وإلا فلا. لا حاجة إلى فحص الأزواج الأخرى، لأن أي زوج فيه الضلع الأكبر سيزيد مجموعه على الضلع الثالث تلقائيًا.

وكثيرًا ما يأتي السؤال مقلوبًا: يعطيك طولي ضلعين ويسألك عن الضلع الثالث. هنا يتحول الشرط نفسه إلى مجال: الضلع الثالث أكبر من فرق الضلعين وأصغر من مجموعهما.

المجموع حدّ أعلى، لأن الضلع الثالث لو ساواه أو تجاوزه لما استطاع الضلعان الآخران الالتقاء فوقه. والفرق حدّ أدنى، لأن الضلع الثالث لو ساواه أو قصر عنه لكان مجموعه مع الضلع الأصغر لا يزيد على الأكبر. والحدّان نفساهما مستبعدان.

بقيت أداة أخيرة هي التطابق. المثلثان المتطابقان نسختان من الشكل نفسه، قد تكون إحداهما مقلوبة أو مُدارة. فكل ضلع في الأول يساوي الضلع المناظر له في الثاني، وكل زاوية تساوي الزاوية المناظرة لها.

المهم أن تعرف أي عنصر يناظر أيّ عنصر. إذا كُتب أ ب ج ≅ د هـ و، فترتيب الحروف هو الدليل: الأول يناظر الأول، والثاني الثاني، والثالث الثالث. أي أن أ تناظر د، وب تناظر هـ، وج تناظر و. لا تعتمد على موضع الزاوية في الرسم، لأن المثلث الثاني قد يكون مقلوبًا.

والأمر نفسه في الأضلاع: الضلع ب ج يناظر الضلع هـ و، لأن كليهما مكوّن من الحرفين الثاني والثالث. فإذا كان ب ج = ٩ فإن هـ و = ٩. وإذا لم تُكتب أسماء المثلثين، فاستدل على التناظر من العلامات: الضلعان اللذان يحملان العلامة نفسها متناظران، والزاويتان اللتان تحملان القوس نفسه متناظرتان.

وكثيرًا ما يكون التطابق خطوة في منتصف الحل: تنقل به زاوية أو ضلعًا إلى مثلث آخر، ثم تكمل بمجموع الزوايا أو بنوع المثلث كما تعلّمت في الأجزاء السابقة. فإذا أثبت التطابق أن ضلعين متساويان، صار أمامك مثلث متساوي الساقين بزاويتين متساويتين.